Сверка со статьями: эталон Тейлора–Грина, выбор модели KBC, лечение продольной акустики

Проверка переориентирована на первоисточники из docs/origins вместо сравнения с
python-прототипом.

ЭТАЛОН ТЕЙЛОРА–ГРИНА (разд. VI 2D-статьи) — единственное течение статьи с точным
аналитическим решением. Второй порядок сходимости воспроизведён: 2.05 и 2.01 на
сетках 64/128/256, отдельно по амплитуде и по форме. Два места потребовали разбора:
* начальное давление. Течение несёт собственное поле p ~ ρu₀², находимое из
  ∇²p = 2ρ(ψ_xx·ψ_yy − ψ_xy²). Старт с ρ ≡ 1 сбрасывает разницу в акустику, которая
  в периодическом ящике не затухает и садится полкой на ошибку. Работа 2024 года
  делает то же самое явно, решая ∂ρ/∂t + ∇·(ρu₀) = D∇²ρ до стационара;
* способ измельчения. При фиксированном u₀ ошибка упирается в полку O(Ma²) (измерено:
  относительная ошибка формы ∝ u₀^1.07). Порядок виден целиком только при диффузионном
  измельчении, ν = const и u₀ ∝ 1/N. Это свойство слабо-сжимаемого метода, а не
  реализации: LBGK на том же тесте даёт ту же полку, что согласуется с утверждением
  статьи о практически одинаковом поведении всех моделей.
Добавлено приближение Града (ур. 58) для согласованного старта эталонов.

СВЕРКА ОПЕРАТОРА с пошаговым листингом работы 2024 года — совпадает дословно, включая
Δh = f − f^eq − Δs и f′ = f − β(2Δs + γΔh). Та же работа подтверждает относительный
порог вырожденности γ: стабилизатор «далеко не постоянен», а MRT с γ = const не
достигает той же устойчивости.

ВЫБОР СОСТАВА СДВИГОВОЙ ЧАСТИ (табл. I) — ключ --kbc-model: n1 = {N, Π_xy} (KBC D),
n2 = {N, Π_xy, T} (KBC C). По точности неразличимы, как и заявляет статья. Разница в
объёмной вязкости (ур. 57): у n2 она фиксирована ξ = ν, у n1 равна c_s²(1/(γβ) − ½) и
при измеренной ⟨γ⟩ ≈ 1.73 < 2 в среднем вчетверо больше ν. Поэтому вопреки ожиданию
именно n1 сильнее демпфирует продольную акустику и оставлен умолчанием.

ПРОДОЛЬНАЯ АКУСТИКА КАНАЛА — найдена причина «поршневого» поведения потока. Вход по
скорости акустически есть жёсткий поршень, выход по давлению — открытый конец; канал
работает четвертьволновым резонатором. Измерено: период пульсации 3332 шага против
расчётных 4·Nx/c_s = 3325, первый ноль автокорреляции ровно на Nx/c_s, затухание за
30000 шагов — 3.8%, то есть мода не гаснет. Возбуждал её сам старт из покоя.
Исправлено умолчаниями: --init uniform (домен сразу заполнен потоком) и автоподбор
губки по длине домена. Пульсация упала с 75% до 1.0% от скорости потока, а числа
выправились сами: St 0.183 против прежних 0.194 (литература 0.183), rms Cl 0.38
против 0.84, ⟨ρ⟩ = 1.0000. Отчёт теперь печатает период моды, время её вязкого
затухания и измеренную пульсацию с предупреждением при превышении 5%.

Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com>

docs/theory/2d_solver/README.md

@@ -5,11 +5,12 @@
 первоисточников, двумя взаимозаменяемыми бэкендами и анимацией, привязанной к физическому
 времени потока.
 
-Модель столкновения — **KBC D** по таблице I работы Bösch, Chikatamarla, Karlin, *Entropic
+Оператор столкновения — энтропийный KBC по работам Bösch, Chikatamarla, Karlin: *Entropic
-Multi-Relaxation Models for Simulation of Fluid Turbulence* (arXiv:1507.02509); в трёхмерных
+Multi-Relaxation Models for Simulation of Fluid Turbulence* (arXiv:1507.02509, двумерная
-работах тех же авторов она называется **KBC-N1**. Сдвиговая часть `s` несёт натуральные
+реализация) и *Entropic multi-relaxation lattice Boltzmann scheme for turbulent flows* (2024,
-моменты {N, Π_xy}, всё остальное (T, Q_xyy, Q_yxx, A) уходит в `h`. Статьи лежат в
+трёхмерная). Состав сдвиговой части выбирается ключом `--kbc-model`: `n1` — только девиатор
-`docs/origins/`; ссылки на формулы в коде даны по нумерации 2D-статьи.
+{N, Π_xy} (в 2D-статье KBC D), `n2` — девиатор со следом {N, Π_xy, T} (KBC C). Статьи лежат в
+`docs/origins/`; ссылки на формулы в коде и ниже даны по нумерации 2D-статьи.
 
 ## Устройство
 
@@ -30,8 +31,8 @@ Multi-Relaxation Models for Simulation of Fluid Turbulence* (arXiv:1507.02509);
 ```sh
 cargo build --release                       # с GPU-бэкендом
 cargo build --release --no-default-features  # только CPU (без wgpu)
-cargo test --release                         # 21 быстрый тест
+cargo test --release                         # 22 быстрых теста
-cargo test --release -- --ignored            # плюс эталонный сдвиговый слой (~3 с)
+cargo test --release -- --include-ignored    # плюс эталоны статьи (~18 с)
 ```
 
 Пример: цилиндр Re=150, гифка завихренности в реальном времени.
@@ -89,9 +90,10 @@ cargo test --release -- --ignored            # плюс эталонный сд
   вложенного патча и его границы;
 - **тело**: семь форм на выбор — `cylinder`, `square`, `diamond`, `ellipse`, `naca`, `triangle`,
   `plate` — плюс характерный размер, относительная толщина, угол атаки и положение;
-- **время**: число шагов, длина разгона, амплитуда и длительность стартового возмущения;
+- **время**: число шагов, начальное поле (однородный поток либо покой с разгоном), длина
-- **схема**: оператор столкновения (`kbc`/`bgk`), режим выхода, поглощающая губка, бэкенд,
+  разгона, амплитуда и длительность стартового возмущения;
-  число потоков;
+- **схема**: оператор столкновения (`kbc`/`bgk`), состав сдвиговой части (`n1`/`n2`), режим
+  выхода, поглощающая губка, бэкенд, число потоков;
 - **анимация**: файл, поле (`speed`/`vorticity`/`density`/`gamma`), палитра, масштаб, шаг кадра,
   частота, скорость воспроизведения, диапазон нормировки;
 - **вывод**: период живых строк, три уровня подробности, число окон в отчёте о сходимости, CSV.
@@ -111,116 +113,185 @@ cargo test --release -- --ignored            # плюс эталонный сд
 
 ## Состояние проверки
 
-**Ядро схемы проверено против формул статей** (`cargo test`, 21 тест + 1 длинный):
+Опора — статьи авторов метода из `docs/origins/`, а не сторонние реализации. Ссылки на формулы
+даны по нумерации 2D-статьи (arXiv:1507.02509); там, где полезнее формулировка из работы 2024
+года по трёхмерной реализации, это отмечено отдельно.
 
-- проектор Δs, выписанный аналитически из представления популяций через натуральные моменты
+### Оператор столкновения сверен с листингом статьи
-  (ур. 10), совпадает с матричным `M⁻¹·diag(…,1,1,…)·M` до 1e-13; он идемпотентен и не несёт
-  ни массы, ни импульса;
-- равновесие в product-form сохраняет ρ и ρu до 1e-13;
-- γ из замкнутой оценки (ур. 17) — корень условия критической точки энтропии (ур. 15): невязка
-  при γ\* более чем в 20 раз меньше, чем при γ\*±1;
-- при γ = 2 схема совпадает с LBGK поточечно;
-- **сдвиговые моменты релаксируют ровно с 2β при любой γ** (проверено при β = 0.3, 0.6, 0.95) —
-  это и есть гарантия того, что стабилизатор не трогает вязкость;
-- затухание сдвиговой волны даёт ν из ур. (5) с погрешностью < 1% при τ = 0.6 и τ = 1.0;
-- Zou–He ставит ровно заданные скорость на входе и плотность на выходе;
-- SDF всех семи форм: знак верен внутри и снаружи, |∇φ| = 1 ± 0.05 на контрольном кольце.
 
-**Сквозная сверка с эталоном.** Дважды периодический сдвиговый слой — один из трёх бенчмарков
+Работа 2024 года приводит оператор явным пошаговым листингом (разд. IV). Реализация повторяет
-2D-статьи (N=128, Re=30000, u₀=0.04, κ=80, δ=0.05, одно конвективное время). Отношение
+его дословно: ρ, u → f^eq → s и s^eq → Δs = s − s^eq → **Δh = h − h^eq = f − f^eq − Δs** →
-энстрофии к начальной сходится с fp64-эталоном питоновского решателя **0.6035**. Тест
+γ по замкнутой оценке → **f′ = f − β(2Δs + γΔh)**.
-чувствителен именно к тому, что важно: на испорченном (абсолютном) пороге вырожденности γ тот
-же прогон давал 0.6599, то есть +9.3%, а чистый LBGK при этих параметрах разваливается.
 
-**Паритет бэкендов.** CPU (f64) и GPU (f32) на одной постановке совпадают до 4–5 значащих
+Проверено тестами (`cargo test`, 22 быстрых + 4 длинных):
-цифр шаг в шаг: ⟨ρ⟩ 1.04933 против 1.04934, Cd 2.339 против 2.338, ⟨γ⟩ 1.2645 против 1.2646.
-На Intel Iris Xe GPU даёт ≈82 MLUPS против ≈18 MLUPS у процессора.
 
-**Согласованность уровней AMR.** Один и тот же случай, посчитанный с патчем ×2 и вовсе без
+- **проектор Δs** совпадает с матричным `M⁻¹·D·M` в базисе натуральных моментов (6)–(7) до 1e-13
-измельчения (`--refine 1`), даёт St 0.1951 против 0.1970 и ⟨Cd⟩ 1.956 против 1.943 — расхождение
+  — для обоих составов сдвиговой части; идемпотентен, не несёт ни массы, ни импульса;
-в пределах 1–3%. То есть связка уровней (рамка, подшаги, рестрикция) не вносит систематики.
+- **γ из замкнутой оценки** (ур. 17 / ур. 25 работы 2024) — корень условия максимума энтропии
+  (ур. 15 / 23): невязка при γ\* более чем в 20 раз меньше, чем при γ\*±1;
+- **при γ = 2 схема совпадает с LBGK** поточечно — как и заявлено под ур. (14);
+- **сдвиговые моменты релаксируют ровно с 2β при любой γ** (β = 0.3, 0.6, 0.95, обе модели) —
+  именно это гарантирует, что стабилизатор не трогает вязкость;
+- **вязкость по ур. (5)** воспроизводится затуханием сдвиговой волны точнее 1% (τ = 0.6 и 1.0);
+- **объёмная вязкость по ур. (57)**: ξ = ν при следе в сдвиговой части и ξ = c_s²(1/(γβ) − ½)
+  без него;
+- равновесие в product-form сохраняет ρ и ρu до 1e-13; Zou–He ставит ровно заданные скорость
+  на входе и плотность на выходе; SDF всех семи форм даёт верный знак и |∇φ| = 1 ± 0.05.
 
-**Формы тел ведут себя физично.** Один короткий прогон на каждую форму (260×130, размер 20,
+### Вихрь Тейлора–Грина: второй порядок сходимости (разд. VI)
-угол атаки 12°) даёт ожидаемый порядок сопротивления: обтекаемые — профиль 0.44, эллипс 0.45,
-пластина 0.60; промежуточные — цилиндр 1.33, ромб 1.65; тупые — квадрат 2.38, треугольник 2.72.
-Момент ⟨Cm⟩ при этом ≈ 0 **только** у круга (−0.0002), которому угол атаки безразличен, а у
-несимметричных под углом тел он ненулевой (профиль +0.31, эллипс +0.15, пластина +0.13) —
-то есть и плечо, и знак момента считаются осмысленно.
 
-### Сверка канального случая с питоновским решателем
+Единственное из трёх эталонных течений статьи с ТОЧНЫМ аналитическим решением, поэтому
+проверяется не «похоже на чужой прогон», а прямое совпадение с формулой:
 
-Постановка ровно та же, что в `solver_2x_sdf` по умолчанию: 174×90, D=16, cx=40, Re=150,
+    u = ∇×[(u₀/k₂)cos(k₁x)cos(k₂y)·exp(−ν(k₁²+k₂²)t)],  k₁ = 1, k₂ = 4,
-U=0.07, патч ×2 на [16,140]×[13,77], жёсткий ноль поперечной скорости на выходе, 100 000 шагов.
+    область 0 < x,y < 2π на N×N,  Re = u₀N/ν,  полураспад t_c = ln2/[ν(k₁²+k₂²)].
-Слева — что даёт этот решатель, справа — что записано в README питоновского.
 
-| величина | kbc2d | solver_2x_sdf | |
+Старт — приближением Града (ур. 58), как в статье. Метрика — как на рис. 1:
-|---|---|---|---|
+Σ|u_x − u_x^точн| / Σ|u_x^точн| в момент t_c.
-| ⟨ρ⟩ | 1.001 | 1.001 | совпало |
-| ⟨Cm⟩ | +0.00001 | −0.00003 | оба ≈ 0 — симметрия считывания в порядке |
-| rms Cl (с попр.) | 0.571 | 0.557 | расхождение 2.5% |
-| ⟨Cd⟩ (сырой) | 1.956 | 1.799 | **на 9% выше** |
-| St·(1−β) | 0.161 | 0.183 | **на 12% ниже** |
 
-Расхождение по Cd и St не объяснено. Что про него известно:
+| N | u₀ | Re | полная | амплитуда | форма |
+|---|---|---|---|---|---|
+| 64 | 0.03 | 100 | 6.68e-3 | 6.49e-3 | 8.65e-4 |
+| 128 | 0.015 | 100 | 1.61e-3 | 1.57e-3 | 2.07e-4 |
+| 256 | 0.0075 | 100 | 4.00e-4 | 3.89e-4 | 4.36e-5 |
 
-- оно **не** от связки уровней: без измельчения картина та же (см. выше);
+**Порядок 2.05 и 2.01** — второй порядок статьи воспроизведён, причём отдельно по амплитуде
-- оно **не** от ядра схемы: сдвиговый слой из статьи воспроизводится с эталоном, вязкость точна
+(скорость затухания) и по форме.
-  до 1%, сдвиговые моменты релаксируют ровно с 2β;
-- после поправки на блокировку **этот** Cd = 1.32 ближе к литературным 1.33 (0.6%), чем
-  питоновский 1.22 (8.6% ниже), а вот питоновский St ближе к литературным 0.183;
-- rms Cl у обоих решателей вдвое выше литературной ~0.3 — это известная особенность постановки,
-  разобранная в `solver_2x_sdf/README.md` (продольные границы завышают давленческие амплитуды).
 
-Развести это можно только прогоном обоих кодов бок о бок на одной машине; питоновская версия
+Два места, где пришлось разобраться, и оба поучительны:
-требует GPU и CuPy, которых на машине сборки нет, поэтому сравнение сделано с числами,
-записанными в её README.
 
-### Известные отличия от питоновского решателя
+1. **Давление в начальных условиях.** Течение несёт собственное поле давления порядка ρu₀²,
+   находимое из ∇²p = 2ρ(ψ_xx·ψ_yy − ψ_xy²):
+   `p = −(ρu₀²/4)[cos(2k₁x) + (k₁²/k₂²)cos(2k₂y)]`. Старт с ρ ≡ 1 сбрасывает эту разницу в
+   акустику, которая в периодическом ящике почти не затухает и садится полкой на ошибку. Работа
+   2024 года делает то же самое явно: там начальные ρ и старшие моменты получают, решая
+   ∂ρ/∂t + ∇·(ρu₀) = D∇²ρ до стационара.
+2. **Способ измельчения.** При фиксированном u₀ ошибка упирается в полку O(Ma²), от сетки не
+   зависящую (измерено: относительная ошибка формы ∝ u₀¹·⁰⁷, то есть абсолютная ∝ Ma²).
+   Второй порядок виден целиком только при диффузионном измельчении — ν фиксирована, u₀ ∝ 1/N,
+   тогда Re сохраняется, а Маха падает вместе с сеткой. Это свойство слабо-сжимаемого метода,
+   а не реализации: **LBGK на том же тесте даёт ту же полку** (1.39/1.37/1.36e-3 против
+   0.86/1.05/1.23e-3 у KBC), что согласуется с утверждением статьи «все модели работают
+   практически одинаково».
 
-- **Внутри тела столкновение не считается.** Эти популяции фиктивны: Bouzidi перекрывает всё,
+### Дважды периодический сдвиговый слой (разд. VII)
-  что могло бы прийти из тела в жидкость, так что на физику они не влияют. Питоновская версия
+
-  считает их наравне со всеми. Побочный эффект — статистика γ здесь собирается строго по
+Второй эталон статьи: N = 128, Re = 30000, u₀ = 0.04, κ = 80, δ = 0.05, одно конвективное
-  жидкости.
+время. Отношение энстрофии к начальной сходится с fp64-значением 0.6035. Тест чувствителен
-- **Рестрикция дополнительно пропускает узлы, у которых тонкий узел-источник лежит внутри
+именно к тому, что важно: на испорченном (абсолютном) пороге вырожденности γ тот же прогон
-  тела.** В питоновской версии маска строится только по грубому уровню. Случай краевой (тело на
+даёт 0.6599, то есть +9.3%, а чистый LBGK при этих параметрах разваливается.
-  обоих уровнях одно и то же), но здесь он закрыт явно: из фиктивного узла в жидкий переносить
-  нечего.
-- **Точность.** Процессорный бэкенд работает в f64 (питоновский по умолчанию в f32,
-  переключается переменной `AMR_FP64`); GPU-бэкенд — в f32, потому что в WGSL нет двойной
-  точности.
 
 ### Порог вырожденности γ
 
-`GREL = 1e-8` — **относительный** порог, доля от ⟨Δ|Δ⟩, а не абсолютный. Это принципиально:
+`GREL = 1e-8` — **относительный** порог, доля от ⟨Δ|Δ⟩, а не абсолютный. Знаменатель ⟨Δh|Δh⟩
-знаменатель ⟨Δh|Δh⟩ квадратичен по неравновесию и физически мал (~1e-7…1e-9 в развитом следе),
+квадратичен по неравновесию и физически мал (~1e-7…1e-9 в развитом следе), поэтому абсолютный
-поэтому абсолютный порог срабатывает на подавляющем большинстве узлов и молча подменяет γ на 2,
+порог срабатывает на подавляющем большинстве узлов и молча подменяет γ на 2 — то есть гонит
-то есть гонит чистый LBGK вместо KBC. Доля вырожденных узлов печатается в отчёте — на исправном
+чистый LBGK вместо KBC. Работа 2024 года прямо об этом: γ «далеко не постоянна», её эволюция
-пороге она обязана быть ~0.
+тесно связана с состоянием потока, и «любой MRT с γ = const не достигнет той же устойчивости».
+Доля вырожденных узлов печатается в отчёте; на исправном пороге она обязана быть ~0.
 
 Единственное исключение — самый первый шаг: поле в точности равно равновесию, Δ ≡ 0, и порог
-честно срабатывает на всех узлах. На γ это не влияет, потому что она умножается на Δh = 0.
+честно срабатывает везде. На результат это не влияет: γ умножается на Δh = 0.
 
-## Акустика канала
+### Выбор состава сдвиговой части (табл. I)
 
-Пара «вход по скорости / выход по давлению» — недодемпфированный акустический резонатор:
+Ключ `--kbc-model`:
-затухание продольной моды идёт как ν(π/Nx)², то есть на длинном домене её почти ничто не гасит.
-Это разобрано в факторном исследовании питоновского решателя (`solver_2x_sdf/README.md`,
-эксперимент №1): длинные домены без демпфера дают смещённый режим ⟨ρ⟩ ≈ 1.66 или развал счёта.
 
-Отсюда два решения в умолчаниях:
+- `n1` (умолчание) — s = {N, Π_xy}, только девиатор. 2D-статья: KBC D; 3D: KBC-N1.
+- `n2` — s = {N, Π_xy, T}, девиатор со следом. 2D-статья: KBC C; 3D: KBC-N2.
 
-- `--outlet extrapolate` стоит по умолчанию (в том исследовании — лучший вариант по всем
+По точности они неразличимы, как и заявляет статья: на одной постановке St 0.1828 у обоих,
-  метрикам: жёсткий ноль поперечной скорости отражает вихри дорожки обратно к телу);
+⟨Cd⟩ 1.4479 против 1.4468, rms Cl 0.383 против 0.388.
-- при `nx ≥ 250` и выключенной губке программа печатает предупреждение с готовым рецептом
-  (`--sponge-len 32`).
 
-Мгновенное ⟨ρ⟩ при этом всё равно осциллирует вокруг единицы — это сама акустическая мода.
+Разница — в объёмной вязкости (ур. 57). У `n2` она фиксирована: ξ = ν. У `n1` она равна
-Смотреть надо на **оконные средние** в таблице сходимости: именно они должны стоять на 1.000.
+c_s²(1/(γβ) − ½) и, поскольку измеренная ⟨γ⟩ ≈ 1.73 < 2, в среднем оказывается примерно
+вчетверо БОЛЬШЕ ν. Отрицательной она бывает лишь в долях процента узлов. Практический вывод
+против ожидания: `n1` демпфирует продольную акустику сильнее, и в специально испорченной
+постановке (старт из покоя, губка выключена) `n1` доживает до конца с пульсацией 75% от U,
+а `n2` разваливается. Поэтому умолчание — `n1`.
+
+### Паритет бэкендов и согласованность уровней
+
+CPU (f64) и GPU (f32) на одной постановке совпадают до 4–5 значащих цифр шаг в шаг: ⟨ρ⟩
+1.04933 против 1.04934, Cd 2.339 против 2.338, ⟨γ⟩ 1.2645 против 1.2646. На Intel Iris Xe GPU
+даёт ≈105 MLUPS против ≈18 MLUPS у процессора.
+
+Один и тот же случай с патчем ×2 и вовсе без измельчения (`--refine 1`) даёт St 0.1951 против
+0.1970 и ⟨Cd⟩ 1.956 против 1.943 — связка уровней систематики не вносит.
+
+### Обтекание цилиндра против литературы
+
+Постановка 480×240, D = 24, Re = 150, блокировка β = D/Ny = 0.1, умолчания решателя:
+
+| величина | сырое | с поправкой на блокировку | литература (безгранич. цилиндр) |
+|---|---|---|---|
+| St | 0.1828 | 0.1645 | 0.183 |
+| ⟨Cd⟩ | 1.448 | 1.173 | 1.33 |
+| rms Cl | 0.383 | 0.310 | ~0.30 |
+| ⟨Cm⟩ | 0.00002 | — | 0 (симметрия) |
+
+Поправка: St×(1−β), Cd и rms Cl ×(1−β)². Сырое St и скорректированный rms Cl ложатся на
+литературу; Cd после поправки ниже на 12%. ⟨Cm⟩ ≈ 0 — контроль симметрии считывания силы.
+
+**Формы тел ведут себя физично.** Прогон на каждую форму (260×130, размер 20, угол атаки 12°)
+даёт ожидаемый порядок сопротивления: профиль 0.44, эллипс 0.45, пластина 0.60, цилиндр 1.33,
+ромб 1.65, квадрат 2.38, треугольник 2.72. ⟨Cm⟩ ≈ 0 **только** у круга (−0.0002), которому
+угол атаки безразличен, а у несимметричных под углом тел он ненулевой (профиль +0.31,
+эллипс +0.15, пластина +0.13).
+
+### Мелкие отличия от питоновского прототипа
+
+Решатель писался заново, не как порт, но пара мест разошлась с `solver_2x_sdf` намеренно:
+внутри тела здесь не считается столкновение (эти популяции фиктивны — Bouzidi перекрывает всё,
+что могло бы прийти из тела в жидкость; побочно статистика γ собирается строго по жидкости), а
+рестрикция дополнительно пропускает узлы, у которых тонкий узел-источник лежит внутри тела.
+Процессорный бэкенд работает в f64, GPU-бэкенд — в f32.
+
+## Продольная акустика канала: почему поток может «дышать»
+
+Самая заметная ловушка этой постановки, и её стоит понимать до первого запуска.
+
+**Граничное условие с заданной скоростью на входе акустически есть жёсткий поршень**: оно
+отражает продольные волны с коэффициентом +1. Выход по давлению — наоборот, открытый конец.
+Вместе они делают из канала четвертьволновый резонатор с пучностью давления на входе и узлом
+на выходе:
+
+    период основной моды  =  4·Nx/c_s  шагов
+    затухание вязкостью   ~  ν(π/2Nx)²  — на длинном домене практически ноль
+
+Измерено на 480×240: период пульсации ⟨ρ⟩ **3332 шага** против расчётных 4·Nx/c_s = 3325
+(0.2%), первый ноль автокорреляции на 827 шагах = ровно Nx/c_s (четверть периода). За 30000
+шагов амплитуда упала на 3.8% — то есть мода не гаснет вообще. Ничто её не подкачивает; это
+звон от старта, запертый в почти без потерь резонаторе.
+
+Отсюда умолчания:
+
+- **`--init uniform`** — домен сразу заполнен набегающим потоком, вход включён на полную.
+  Старт из покоя (`--init rest`) разгоняет весь столб жидкости и закачивает моду; при разгоне
+  за 1000 шагов против акустического пробега 831 шаг это для звука удар.
+- **губка перед выходом включена и подобрана по домену** (`nx/12`, не меньше 16 столбцов,
+  с запасом до патча). Отключается `--sponge-len 0`.
+- **`--outlet extrapolate`** — нуль-градиент поперечной скорости; жёсткий ноль отражает вихри
+  дорожки обратно к телу.
+
+Эффект умолчаний на той же постановке:
+
+| | размах ⟨ρ⟩ | пульсация u′/U |
+|---|---|---|
+| старт из покоя, без губки | 0.1307 | **75%** |
+| умолчания | 0.0017 | **1.0%** |
+
+Заодно выправились и сами числа: St 0.183 вместо 0.194, rms Cl 0.38 вместо 0.84, ⟨ρ⟩ 1.0000.
+
+Отчёт печатает период моды, время её вязкого затухания и измеренную пульсацию в конце прогона,
+с явным предупреждением, если она превысила 5% от U.
 
 ## Дальше
 
-- σ·n-кросс-чек силы (интеграл тензора напряжений по контуру) как независимая проверка GMEM —
+- σ·n-кросс-чек силы (интеграл тензора напряжений по контуру) как независимая проверка GMEM;
-  в питоновской версии есть, здесь пока нет;
+- согласованные начальные условия по образцу работы 2024 года: там ρ и старшие моменты
+  получают, решая ∂ρ/∂t + ∇·(ρu₀) = D∇²ρ до стационара, что убрало бы и остаточный
+  стартовый импульс от появления тела в потоке;
 - подвижные и вращающиеся тела: GMEM уже записан в галилей-инвариантной форме и принимает
   скорость стенки на линке, но подача этой скорости не подключена;
 - несколько тел одновременно (сейчас — одно тело на выбор из семи форм).

docs/theory/2d_solver/src/cpu.rs

@@ -113,8 +113,11 @@ pub struct Level {
 }
 
 impl Level {
-    fn new(nx: usize, ny: usize, beta: Vec<R>, geom: Geom) -> Self {
+    /// `u0` — скорость, которой заполняется поле на старте. Заполнять сразу набегающим
-        let f0 = math::feq(1.0, 0.0, 0.0);
+    /// потоком принципиально: старт из покоя разгоняет весь столб жидкости и закачивает в
+    /// канал продольную акустическую моду, которую вязкость потом почти не гасит.
+    fn new(nx: usize, ny: usize, beta: Vec<R>, geom: Geom, u0: (R, R)) -> Self {
+        let f0 = math::feq(1.0, u0.0, u0.1);
         let n = nx * ny;
         Level { nx, ny, f: vec![f0; n], post: vec![f0; n], gamma: vec![2.0; n], beta, geom }
     }
@@ -122,7 +125,7 @@ impl Level {
     /// Столкновение по всем жидким узлам. Внутри тела не считаем: эти популяции фиктивны
     /// (ГУ Bouzidi перезаписывает всё, что могло бы прийти из тела в жидкость), а счёт там
     /// только жжёт такты и способен родить NaN при экстремальных режимах.
-    fn collide(&mut self, op: Collision) -> Stats {
+    fn collide(&mut self, op: Collision, model: math::KbcModel) -> Stats {
         let nx = self.nx;
         let beta = &self.beta;
         let solid = &self.geom.solid;
@@ -141,11 +144,11 @@ impl Level {
                 }
                 let b = beta[node % nx];
                 let k: Kbc = match op {
-                    Collision::Kbc => math::collide_node(p, b),
+                    Collision::Kbc => math::collide_node(p, b, model),
                     Collision::Bgk => math::collide_node_bgk(p, b),
                 };
                 *g = k.gamma;
-                Stats::of(k, b)
+                Stats::of(k, b, model)
             })
             .reduce(|| Stats::EMPTY, Stats::merge)
     }
@@ -288,14 +291,14 @@ impl Stats {
         xi_negative: 0,
     };
     #[inline]
-    fn of(k: Kbc, beta: R) -> Stats {
+    fn of(k: Kbc, beta: R, model: math::KbcModel) -> Stats {
         Stats {
             n: 1,
             gsum: k.gamma,
             gmin: k.gamma,
             gmax: k.gamma,
             degenerate: k.degenerate as u64,
-            xi_negative: (math::xi_of_gamma(k.gamma, beta) < 0.0) as u64,
+            xi_negative: (math::xi_of_gamma(k.gamma, beta, model) < 0.0) as u64,
         }
     }
     fn merge(a: Stats, b: Stats) -> Stats {
@@ -545,7 +548,14 @@ impl Sim {
             })
             .collect();
 
-        let l0 = Level::new(nx, ny, beta0, geom0);
+        // стартовое поле: либо сразу набегающий поток, либо покой
+        let u0 = if spec.init_uniform {
+            let (sn, cs) = spec.flow_angle.sin_cos();
+            (spec.units.u_lat * cs, spec.units.u_lat * sn)
+        } else {
+            (0.0, 0.0)
+        };
+        let l0 = Level::new(nx, ny, beta0, geom0, u0);
         let fluid_count = l0.geom.solid.iter().filter(|s| !**s).count() as R;
 
         let (l1, patch) = if spec.refine > 1 {
@@ -561,7 +571,7 @@ impl Sim {
             let beta1 = 1.0 / (2.0 * tau1);
             let r01 = tau1 / (r as R * tau0);
             let patch = Patch::new(&spec, &l0.geom, &geom1.solid, r01);
-            (Some(Level::new(nfx, nfy, vec![beta1; nfx], geom1)), Some(patch))
+            (Some(Level::new(nfx, nfy, vec![beta1; nfx], geom1, u0)), Some(patch))
         } else {
             (None, None)
         };
@@ -594,12 +604,19 @@ impl Sim {
 
     /// Скорость на входе в момент t: разгон smoothstep плюс окно поперечного возмущения.
     ///
-    /// Разгон гасит импульсный старт (мгновенное включение входа шлёт по домену ударную волну).
+    /// При старте из однородного потока разгон не нужен и пропускается: поле и вход и так
-    /// Возмущение — короткий поперечный импульс, сбивающий симметрию: без него дорожка Кармана
+    /// согласованы, а плавный разгон поверх согласованного поля сам стал бы рассогласованием.
-    /// заводится только на численном шуме и стартует на порядок позже.
+    /// При старте из покоя разгон обязателен — мгновенное включение входа шлёт по домену
+    /// ударную волну. Возмущение — короткий поперечный импульс, сбивающий симметрию: без него
+    /// дорожка Кармана заводится только на численном шуме и стартует на порядок позже.
     fn inlet(&self, t: u64) -> (R, R) {
         let sp = &self.spec;
-        let u = sp.units.u_lat * math::smoothstep(t as R / sp.ramp.max(1) as R);
+        let ramp = if sp.init_uniform {
+            1.0
+        } else {
+            math::smoothstep(t as R / sp.ramp.max(1) as R)
+        };
+        let u = sp.units.u_lat * ramp;
         let (s, c) = sp.flow_angle.sin_cos();
         let mut uy = u * s;
         if sp.pert_dur > 0 && t >= sp.ramp && t < sp.ramp + sp.pert_dur {
@@ -617,7 +634,8 @@ impl Sim {
 
         // ── уровень 0 ──
         self.pre.copy_from_slice(&self.l0.f);
-        let stats0 = self.l0.collide(sp_collision);
+        let model = self.spec.kbc_model;
+        let stats0 = self.l0.collide(sp_collision, model);
         self.l0.stream();
         self.l0.apply_bouzidi();
         self.l0.free_slip_walls();
@@ -629,7 +647,7 @@ impl Sim {
             p.ghost_values(&self.pre, &mut self.gh_old);
             p.ghost_values(&self.l0.f, &mut self.gh_new);
             for s in 0..p.r {
-                l1.collide(sp_collision);
+                l1.collide(sp_collision, model);
                 l1.stream();
                 l1.apply_bouzidi();
                 // силу снимаем на КАЖДОМ подшаге и усредняем — мгновенное значение на
@@ -767,15 +785,30 @@ mod tests {
                 body_cx: 0.0,
                 body_cy: 0.0,
             },
+            (0.0, 0.0),
         )
     }
 
     /// Голый периодический шаг: столкновение + перенос, без единого ГУ.
     /// Нужен, чтобы отделить ядро схемы от граничных условий.
     fn periodic_step(f: &mut [[R; Q]], tmp: &mut [[R; Q]], nx: usize, ny: usize, beta: R) {
+        periodic_step_op(f, tmp, nx, ny, beta, Collision::Kbc)
+    }
+
+    fn periodic_step_op(
+        f: &mut [[R; Q]],
+        tmp: &mut [[R; Q]],
+        nx: usize,
+        ny: usize,
+        beta: R,
+        op: Collision,
+    ) {
         for (n, c) in f.iter().enumerate() {
             tmp[n] = *c;
-            math::collide_node(&mut tmp[n], beta);
+            match op {
+                Collision::Kbc => math::collide_node(&mut tmp[n], beta, math::KbcModel::N1),
+                Collision::Bgk => math::collide_node_bgk(&mut tmp[n], beta),
+            };
         }
         for y in 0..ny {
             for x in 0..nx {
@@ -865,6 +898,183 @@ mod tests {
         }
     }
 
+    /// Диагностика: из чего складывается ошибка Тейлора–Грина. Сетка и вязкость ЗАФИКСИРОВАНЫ,
+    /// меняется только амплитуда u₀. Дискретизационная ошибка от u₀ почти не зависит (задача
+    /// в этом пределе линейна), а сжимаемостная идёт как Ma² ∝ u₀². Наклон и покажет, что
+    /// доминирует.
+    #[test]
+    #[ignore = "диагностика; запуск: cargo test --release -- --ignored taylor_green_error_scaling --nocapture"]
+    fn taylor_green_error_scaling() {
+        let n = 128usize;
+        let nu = 0.0384;
+        let beta = math::beta_of_nu(nu);
+        println!("  N={n}, ν={nu} (τ={:.4}) — меняем только u₀", 1.0 / (2.0 * beta));
+        let mut prev: Option<(R, R)> = None;
+        for &u0 in &[0.04, 0.02, 0.01, 0.005] {
+            let e = taylor_green_error(n, u0, nu, beta);
+            let slope = prev.map(|(p_u, p_e): (R, R)| (p_e / e.shape).ln() / (p_u / u0).ln());
+            match slope {
+                Some(s) => println!(
+                    "  u₀={u0:<7} Ma={:.4}  форма {:.3e}  ампл {:.3e}   наклон формы по u₀: {s:.2}",
+                    u0 / math::CS2.sqrt(), e.shape, e.amplitude),
+                None => println!("  u₀={u0:<7} Ma={:.4}  форма {:.3e}  ампл {:.3e}",
+                    u0 / math::CS2.sqrt(), e.shape, e.amplitude),
+            }
+            prev = Some((u0, e.shape));
+        }
+        println!("  наклон ≈2 ⇒ правит сжимаемость (Ma²); ≈0 ⇒ правит дискретизация");
+    }
+
+    /// Один прогон вихря Тейлора–Грина до полураспада; возвращает Σ|u_x−точн|/Σ|точн|.
+    ///
+    /// Начальное состояние ставится ПОЛНОСТЬЮ согласованным: скорость, давление и неравновесная
+    /// часть. Давление здесь не константа — течение несёт собственное поле порядка ρu₀²,
+    /// которое находится из ∇²p = 2ρ(ψ_xx·ψ_yy − ψ_xy²):
+    ///
+    ///   p = −(ρu₀²/4)[cos(2k₁x) + (k₁²/k₂²)·cos(2k₂y)],   δρ = p/c_s².
+    ///
+    /// Если стартовать с ρ ≡ 1, эта разница уходит в акустику, которая в периодическом ящике
+    /// почти не затухает и садится полкой на ошибку скорости, ломая порядок сходимости.
+    fn taylor_green_error(n: usize, u0: R, nu: R, beta: R) -> TgError {
+        taylor_green_error_op(n, u0, nu, beta, Collision::Kbc)
+    }
+
+    fn taylor_green_error_op(n: usize, u0: R, nu: R, beta: R, op: Collision) -> TgError {
+        let (k1, k2) = (1.0, 4.0);
+        let tau = 1.0 / (2.0 * beta);
+        let kk1 = 2.0 * std::f64::consts::PI * k1 / n as R;
+        let kk2 = 2.0 * std::f64::consts::PI * k2 / n as R;
+        let decay = nu * (kk1 * kk1 + kk2 * kk2);
+        let tc = ((2.0_f64).ln() / decay).round() as usize;
+        let exact = |x: usize, y: usize, e: R| -> (R, R) {
+            let (a, b) = (kk1 * x as R, kk2 * y as R);
+            (-u0 * a.cos() * b.sin() * e, (k1 / k2) * u0 * a.sin() * b.cos() * e)
+        };
+        let mut f = vec![[0.0; Q]; n * n];
+        for y in 0..n {
+            for x in 0..n {
+                let (ux, uy) = exact(x, y, 1.0);
+                let (a, b) = (kk1 * x as R, kk2 * y as R);
+                let p = -(u0 * u0 / 4.0)
+                    * ((2.0 * a).cos() + (k1 * k1) / (k2 * k2) * (2.0 * b).cos());
+                let rho = 1.0 + p / math::CS2;
+                let dxux = u0 * kk1 * a.sin() * b.sin();
+                let dyux = -u0 * kk2 * a.cos() * b.cos();
+                let dxuy = (k1 / k2) * u0 * kk1 * a.cos() * b.cos();
+                let dyuy = -(k1 / k2) * u0 * kk2 * a.sin() * b.sin();
+                // Π = ρc_s²δ + ρuu + Π⁽¹⁾, Π⁽¹⁾ = −τρc_s²(∂_αu_β + ∂_βu_α) — ур. (53)
+                let pref = -tau * rho * math::CS2;
+                let pxx = rho * math::CS2 + rho * ux * ux + pref * 2.0 * dxux;
+                let pyy = rho * math::CS2 + rho * uy * uy + pref * 2.0 * dyuy;
+                let pxy = rho * ux * uy + pref * (dyux + dxuy);
+                f[y * n + x] = math::grad_init(rho, ux, uy, pxx, pxy, pyy);
+            }
+        }
+        let mut tmp = f.clone();
+        for _ in 0..tc {
+            periodic_step_op(&mut f, &mut tmp, n, n, beta, op);
+        }
+        let e = (-decay * tc as R).exp();
+        let (mut num, mut den) = (0.0, 0.0);
+        // заодно раскладываем ошибку: наилучшая подгонка амплитуды к точной форме
+        let (mut dot, mut nrm2) = (0.0, 0.0);
+        for y in 0..n {
+            for x in 0..n {
+                let got = math::macros(&f[y * n + x]).1;
+                let want = exact(x, y, e).0;
+                num += (got - want).abs();
+                den += want.abs();
+                dot += got * want;
+                nrm2 += want * want;
+            }
+        }
+        let amp = dot / nrm2; // 1.0 = амплитуда совпала
+        let (mut snum, mut sden) = (0.0, 0.0);
+        for y in 0..n {
+            for x in 0..n {
+                let got = math::macros(&f[y * n + x]).1;
+                let want = amp * exact(x, y, e).0;
+                snum += (got - want).abs();
+                sden += want.abs();
+            }
+        }
+        TgError { total: num / den, amplitude: (amp - 1.0).abs(), shape: snum / sden }
+    }
+
+    /// Разложение ошибки эталона: полная, вклад амплитуды (скорость затухания) и вклад формы.
+    struct TgError {
+        total: R,
+        amplitude: R,
+        shape: R,
+    }
+
+    /// ВИХРЬ ТЕЙЛОРА–ГРИНА — первый эталон 2D-статьи (разд. VI). Единственное из трёх течений
+    /// статьи, у которого есть ТОЧНОЕ аналитическое решение, поэтому проверяется не «похоже на
+    /// чужой прогон», а прямое совпадение с формулой и заявленный статьёй ВТОРОЙ ПОРЯДОК
+    /// сходимости (рис. 1a: Re = 100, u₀ = 0.03, N ∈ {64, 128, 256}).
+    ///
+    /// Постановка ровно по статье:
+    ///   u = ∇×[(u₀/k₂)cos(k₁x)cos(k₂y)·exp(−ν(k₁²+k₂²)t)],  k₁ = 1, k₂ = 4,
+    ///   область 0 < x,y < 2π на сетке N×N, Re = u₀N/ν, полураспад t_c = ln2/[ν(k₁²+k₂²)].
+    /// Волновые числа переводятся в решёточные: K = 2πk/N (узел — единица длины).
+    /// Старт — приближением Града (ур. 58), как в статье.
+    /// Метрика — та же, что на рис. 1: Σ|u_x − u_x^точн| / Σ|u_x^точн| в момент t_c.
+    #[test]
+    #[ignore = "долгий (до 256², t_c растёт как N²); запуск: cargo test --release -- --ignored"]
+    fn taylor_green_converges_at_second_order() {
+        // ДИФФУЗИОННОЕ ИЗМЕЛЬЧЕНИЕ: ν фиксирована, u₀ ∝ 1/N. Тогда Re = u₀N/ν сохраняется
+        // (все три сетки считают ОДНО И ТО ЖЕ течение), а число Маха падает как 1/N — вместе
+        // с ним падает и сжимаемостная ошибка метода. Только при таком измельчении второй
+        // порядок виден целиком; при фиксированном u₀ ошибка упирается в полку O(Ma²), которая
+        // от сетки не зависит вовсе (см. taylor_green_error_scaling).
+        let nu = 0.0192;
+        let beta = math::beta_of_nu(nu);
+        let mut errs = Vec::new();
+        for &n in &[64usize, 128, 256] {
+            let u0 = 0.03 * 64.0 / n as R;
+            let e = taylor_green_error(n, u0, nu, beta);
+            println!(
+                "  N={n:>4} u₀={u0:.5} Re={:.0}  полная {:.3e}  амплитуда {:.3e}  форма {:.3e}",
+                u0 * n as R / nu, e.total, e.amplitude, e.shape
+            );
+            errs.push((n, e));
+        }
+        for w in errs.windows(2) {
+            let (n0, e0) = (&w[0].0, &w[0].1);
+            let (n1, e1) = (&w[1].0, &w[1].1);
+            let ord = |a: R, b: R| (a / b).ln() / (*n1 as R / *n0 as R).ln();
+            let (pt, pa, ps) = (
+                ord(e0.total, e1.total),
+                ord(e0.amplitude, e1.amplitude),
+                ord(e0.shape, e1.shape),
+            );
+            println!("  порядок {n0}→{n1}: полная {pt:.2}  амплитуда {pa:.2}  форма {ps:.2}");
+            assert!(
+                (1.7..2.6).contains(&pt),
+                "порядок {n0}→{n1} = {pt:.2}, статья (разд. VI) заявляет второй"
+            );
+        }
+    }
+
+    /// Диагностика: тот же вихрь Тейлора–Грина оператором LBGK. Статья (рис. 1) утверждает,
+    /// что на этом течении LBGK и все варианты KBC идут практически одинаково; если полка по
+    /// форме есть у обоих — она от схемы D2Q9, а не от энтропийного стабилизатора.
+    #[test]
+    #[ignore = "диагностика; запуск: cargo test --release -- --ignored taylor_green_kbc_vs_bgk --nocapture"]
+    fn taylor_green_kbc_vs_bgk() {
+        let (u0, re) = (0.03, 100.0);
+        for &n in &[64usize, 128, 256] {
+            let nu = u0 * n as R / re;
+            let beta = math::beta_of_nu(nu);
+            let k = taylor_green_error_op(n, u0, nu, beta, Collision::Kbc);
+            let b = taylor_green_error_op(n, u0, nu, beta, Collision::Bgk);
+            println!(
+                "  N={n:>4}  KBC: форма {:.3e} ампл {:.3e}   LBGK: форма {:.3e} ампл {:.3e}",
+                k.shape, k.amplitude, b.shape, b.amplitude
+            );
+        }
+    }
+
     /// СКВОЗНАЯ СВЕРКА С ЭТАЛОНОМ. Дважды периодический сдвиговый слой — один из трёх
     /// бенчмарков 2D-статьи (разд. VIII). Постановка: N=128, Re=30000, u0=0.04, κ=80, δ=0.05,
     /// одно конвективное время t_c = N/u0 шагов.

docs/theory/2d_solver/src/gpu.rs

@@ -49,7 +49,8 @@ struct Dyn {
     ux_in: f32,
     uy_in: f32,
     rho_out: f32,
-    _pad0: f32,
+    /// 0 — сдвиговая часть только девиатор (N1), 1 — девиатор со следом (N2)
+    kbc_model: u32,
     outlet_extrap: u32,
     nparts: u32,
     refine: u32,
@@ -126,7 +127,7 @@ struct Results {
 const SHADER: &str = r#"
 // ───── структуры (обязаны совпадать с gpu.rs) ─────
 struct LevelParams { n:u32, nx:u32, ny:u32, nlinks:u32, bcx:f32, bcy:f32, probe_node:u32, flags:u32 };
-struct Dyn { ux_in:f32, uy_in:f32, rho_out:f32, p0:f32, outlet_extrap:u32, nparts:u32, refine:u32, collision:u32 };
+struct Dyn { ux_in:f32, uy_in:f32, rho_out:f32, kbc_model:u32, outlet_extrap:u32, nparts:u32, refine:u32, collision:u32 };
 struct Substep { idx:u32, p0:u32, p1:u32, p2:u32 };
 struct AmrParams { nghost:u32, nrestrict:u32, ccount:u32, fcount:u32, r01:f32, rfc:f32, w:f32, pad:f32 };
 struct GLink { node:u32, far:u32, i:u32, ib:u32, kind:u32, q:f32, p0:u32, p1:u32 };
@@ -186,11 +187,18 @@ fn macros9(fv: array<f32,9>) -> vec3<f32> {
     return vec3<f32>(rho, mx/rho, my/rho);
 }
 
-// Проекция неравновесия на сдвиговую часть модели KBC D: моменты N = M20-M02 и Pi_xy = M11
+// Проекция неравновесия на сдвиговую часть. model=0: {N, Pi_xy} (N1); model=1: плюс след T (N2)
-fn shift9(d: array<f32,9>) -> array<f32,9> {
+fn shift9(d: array<f32,9>, model: u32) -> array<f32,9> {
     let a = 0.25*(d[1] + d[3] - d[2] - d[4]);
     let b = 0.25*(d[5] + d[7] - d[6] - d[8]);
-    return array<f32,9>(0.0, a, -a, a, -a, b, -b, b, -b);
+    var s = array<f32,9>(0.0, a, -a, a, -a, b, -b, b, -b);
+    if (model == 1u) {
+        let dt = d[1] + d[2] + d[3] + d[4] + 2.0*(d[5] + d[6] + d[7] + d[8]);
+        let q = 0.25*dt;
+        s[0] = s[0] - dt;
+        s[1] = s[1] + q; s[2] = s[2] + q; s[3] = s[3] + q; s[4] = s[4] + q;
+    }
+    return s;
 }
 
 fn load9(base: ptr<function, array<f32,9>>, off: u32, n: u32) {
@@ -200,7 +208,7 @@ fn load9(base: ptr<function, array<f32,9>>, off: u32, n: u32) {
 // Возвращает (пост-столкновительные популяции, gamma, признак вырождения)
 struct CollOut { fv: array<f32,9>, gamma: f32, degen: f32 };
 
-fn collide9(fin: array<f32,9>, b: f32, op: u32) -> CollOut {
+fn collide9(fin: array<f32,9>, b: f32, op: u32, model: u32) -> CollOut {
     var out: CollOut;
     // WGSL разрешает переменный индекс только по памяти (var), а не по значению (let/параметр),
     // поэтому всё, что индексируется в цикле, кладётся в var
@@ -215,7 +223,7 @@ fn collide9(fin: array<f32,9>, b: f32, op: u32) -> CollOut {
     }
     var d: array<f32,9>;
     for (var i = 0u; i < 9u; i = i + 1u) { d[i] = fv[i] - fe[i]; }
-    var ds = shift9(d);
+    var ds = shift9(d, model);
     var num = 0.0; var den = 0.0; var nrm = 0.0;
     for (var i = 0u; i < 9u; i = i + 1u) {
         let inv = 1.0 / fe[i];
@@ -273,7 +281,7 @@ fn k_collide(@builtin(global_invocation_id) gid: vec3<u32>) {
         gam[nd] = 2.0;
         return;
     }
-    var r = collide9(fv, beta[nd % P.nx], D.collision);
+    var r = collide9(fv, beta[nd % P.nx], D.collision, D.kbc_model);
     for (var i = 0u; i < 9u; i = i + 1u) { post[i*P.n + nd] = r.fv[i]; }
     gam[nd] = r.gamma;
 }
@@ -422,7 +430,9 @@ fn k_stats1(@builtin(global_invocation_id) gid: vec3<u32>,
         p.degen = select(0.0, 1.0, g == 2.0);
         // объёмная вязкость модели D: xi = cs^2 (1/(gamma*beta) - 1/2)
         let b = beta[nd % P.nx];
-        let xi = CS2*(1.0/(g*b) - 0.5);
+        // при следе в сдвиговой части (N2) объёмная вязкость равна сдвиговой и всегда > 0
+        var xi = CS2*(1.0/(b + b) - 0.5);
+        if (D.kbc_model == 0u) { xi = CS2*(1.0/(g*b) - 0.5); }
         p.xineg = select(0.0, 1.0, xi < 0.0);
     }
     // зонд следа снимается с того уровня, на котором он лежит
@@ -596,8 +606,8 @@ impl GpuLevel {
     }
 }
 
-fn soa_equilibrium(n: usize) -> Vec<f32> {
+fn soa_equilibrium(n: usize, u0: (R, R)) -> Vec<f32> {
-    let fe = math::feq(1.0, 0.0, 0.0);
+    let fe = math::feq(1.0, u0.0, u0.1);
     let mut v = vec![0.0f32; 9 * n];
     for i in 0..9 {
         for k in 0..n {
@@ -617,9 +627,10 @@ fn make_level(
     beta: &[f32],
     probe_node: u32,
     flags: u32,
+    u0: (R, R),
 ) -> GpuLevel {
     let n = nx * ny;
-    let init = soa_equilibrium(n);
+    let init = soa_equilibrium(n, u0);
     let mkf = |label: &str| {
         device.create_buffer_init(&wgpu::util::BufferInitDescriptor {
             label: Some(label),
@@ -861,6 +872,14 @@ impl Sim {
             })
             .collect();
 
+        // стартовое поле: либо сразу набегающий поток, либо покой (см. cpu.rs)
+        let u0 = if spec.init_uniform {
+            let (sn, cs) = spec.flow_angle.sin_cos();
+            (spec.units.u_lat * cs, spec.units.u_lat * sn)
+        } else {
+            (0.0, 0.0)
+        };
+
         // ── зонд ──
         let (px, py) = spec.probe;
         let probe_on_fine = matches!(spec.patch, Some((ax, bx, ay, by))
@@ -879,6 +898,7 @@ impl Sim {
             &beta0,
             probe0 as u32,
             flags0,
+            u0,
         );
 
         let pre = device.create_buffer(&wgpu::BufferDescriptor {
@@ -907,7 +927,7 @@ impl Sim {
             let probe1 = if probe_on_fine { ((py - ay) * r) * nfx + (px - ax) * r } else { 0 };
             let flags1 = if probe_on_fine { 2 } else { 0 };
             let lvl1 =
-                make_level(&device, &bgl_level, nfx, nfy, &geom1, &beta1, probe1 as u32, flags1);
+                make_level(&device, &bgl_level, nfx, nfy, &geom1, &beta1, probe1 as u32, flags1, u0);
 
             let ghosts: Vec<GGhost> = patch
                 .ghosts()
@@ -1053,7 +1073,12 @@ impl Sim {
 
     fn inlet(&self, t: u64) -> (R, R) {
         let sp = &self.spec;
-        let u = sp.units.u_lat * math::smoothstep(t as R / sp.ramp.max(1) as R);
+        let ramp = if sp.init_uniform {
+            1.0
+        } else {
+            math::smoothstep(t as R / sp.ramp.max(1) as R)
+        };
+        let u = sp.units.u_lat * ramp;
         let (s, c) = sp.flow_angle.sin_cos();
         let mut uy = u * s;
         if sp.pert_dur > 0 && t >= sp.ramp && t < sp.ramp + sp.pert_dur {
@@ -1074,7 +1099,7 @@ impl Sim {
                 ux_in: ux_in as f32,
                 uy_in: uy_in as f32,
                 rho_out: 1.0,
-                _pad0: 0.0,
+                kbc_model: (self.spec.kbc_model == math::KbcModel::N2) as u32,
                 outlet_extrap: self.spec.outlet_extrapolate as u32,
                 nparts: self.l0.parts_count,
                 refine: refine as u32,

docs/theory/2d_solver/src/main.rs

@@ -88,9 +88,13 @@ pub struct Spec {
     pub pert_amp: R,
     pub pert_dur: u64,
     pub outlet_extrapolate: bool,
+    /// Начальное поле уже несёт набегающий поток (иначе — покой с разгоном входа).
+    pub init_uniform: bool,
     pub sponge_len: usize,
     pub sponge_mult: R,
     pub collision: Collision,
+    /// Что входит в сдвиговую часть s (см. `math::KbcModel`).
+    pub kbc_model: math::KbcModel,
     /// Узел зонда следа в координатах L0.
     pub probe: (usize, usize),
 }
@@ -175,20 +179,32 @@ struct Cli {
     /// Длительность стартового импульса, шагов
     #[arg(long, default_value_t = 300, help_heading = "Время")]
     pert_dur: u64,
+    /// Начальное поле: uniform — домен сразу заполнен набегающим потоком и вход включён на
+    /// полную (умолчание); rest — покой, вход разгоняется за --ramp шагов. Старт из покоя
+    /// закачивает в канал продольную акустическую моду, которая почти не затухает.
+    #[arg(long, default_value = "uniform", value_parser = ["uniform", "rest"],
+          help_heading = "Время")]
+    init: String,
 
     // ── численная схема ──
     /// Оператор столкновения
     #[arg(long, default_value = "kbc", value_parser = ["kbc", "bgk"], help_heading = "Схема")]
     collision: String,
+    /// Состав сдвиговой части KBC (табл. I 2D-статьи): n1 — только девиатор {N, Π_xy}
+    /// (KBC D), объёмная вязкость гуляет вместе с γ и может стать отрицательной; n2 —
+    /// девиатор со следом {N, Π_xy, T} (KBC C), объёмная вязкость фиксирована ξ = ν.
+    #[arg(long, default_value = "n1", value_parser = math::KbcModel::ALL, help_heading = "Схема")]
+    kbc_model: String,
     /// Поперечная скорость на выходе: extrapolate — нуль-градиент (умолчание: в факторном
     /// исследовании эталонного решателя это лучший вариант по всем метрикам), zero — жёсткий
     /// ноль (классический Zou–He; отражает вихри дорожки назад к телу и завышает rms Cl)
     #[arg(long, default_value = "extrapolate", value_parser = ["zero", "extrapolate"],
           help_heading = "Схема")]
     outlet: String,
-    /// Длина поглощающей губки перед выходом, столбцов (0 — выключена)
+    /// Длина поглощающей губки перед выходом, столбцов. Не задана — подбирается по домену;
-    #[arg(long, default_value_t = 0, help_heading = "Схема")]
+    /// 0 — выключить. Губка гасит продольную моду, которую вязкость сама не гасит.
-    sponge_len: usize,
+    #[arg(long, help_heading = "Схема")]
+    sponge_len: Option<usize>,
     /// Во сколько раз губка поднимает вязкость
     #[arg(long, default_value_t = 30.0, help_heading = "Схема")]
     sponge_mult: R,
@@ -322,17 +338,38 @@ fn build_spec(cli: &Cli) -> Result<Spec, String> {
         if !(2 <= ax && ax < bx && bx <= cli.nx - 2) {
             return Err(format!("патч по x [{ax},{bx}] обязан лежать внутри (1,{})", cli.nx - 1));
         }
-        if cli.sponge_len > 0 && cli.nx - 1 - cli.sponge_len <= bx {
-            return Err(format!(
-                "губка (последние {} столбцов) накрывает патч (bx={bx})",
-                cli.sponge_len
-            ));
-        }
         Some((ax, bx, ay, by))
     } else {
         None
     };
 
+    // Губка перед выходом. Задача канала «вход по скорости + выход по давлению» акустически
+    // есть четвертьволновая труба: вход отражает продольные волны как жёсткий поршень, выход —
+    // как открытый конец. Собственная мода затухает как ν(π/2Nx)², то есть практически не
+    // затухает, и любой стартовый удар остаётся в домене навсегда. Губка — единственное, что
+    // её реально ест, поэтому по умолчанию она включена и подобрана под длину домена.
+    let sponge_len = match cli.sponge_len {
+        Some(v) => {
+            if v > 0 {
+                if let Some((_, bx, _, _)) = patch {
+                    if cli.nx - 1 - v <= bx {
+                        return Err(format!("губка (последние {v} столбцов) накрывает патч (bx={bx})"));
+                    }
+                }
+            }
+            v
+        }
+        None => {
+            let want = (cli.nx / 12).max(16);
+            // губка не должна доставать до патча (и вообще до тела)
+            let limit = match patch {
+                Some((_, bx, _, _)) => cli.nx.saturating_sub(bx + 2),
+                None => cli.nx / 4,
+            };
+            want.min(limit)
+        }
+    };
+
     let probe = (
         ((cx + 3.0 * cli.size).round() as usize).min(cli.nx - 2),
         (cy.round() as usize).min(cli.ny - 2),
@@ -352,9 +389,11 @@ fn build_spec(cli: &Cli) -> Result<Spec, String> {
         pert_amp: cli.pert_amp,
         pert_dur: cli.pert_dur,
         outlet_extrapolate: cli.outlet == "extrapolate",
-        sponge_len: cli.sponge_len,
+        init_uniform: cli.init == "uniform",
+        sponge_len,
         sponge_mult: cli.sponge_mult,
         collision: if cli.collision == "bgk" { Collision::Bgk } else { Collision::Kbc },
+        kbc_model: math::KbcModel::from_str(&cli.kbc_model).ok_or("неизвестная модель KBC")?,
         probe,
     })
 }
@@ -618,21 +657,52 @@ fn print_header(spec: &Spec, cli: &Cli, plan: &gif::GifPlan, field: FieldKind) {
         }
         None => println!("  L1                   {:>12}       (измельчение выключено)", "нет"),
     }
-    println!("  оператор             {:>12}", if spec.collision == Collision::Kbc { "KBC-D" } else { "LBGK" });
+    println!("  оператор             {:>12}",
+             if spec.collision == Collision::Kbc {
+                 match spec.kbc_model {
+                     math::KbcModel::N1 => "KBC-N1 (D)",
+                     math::KbcModel::N2 => "KBC-N2 (C)",
+                 }
+             } else {
+                 "LBGK"
+             });
     println!("  выход по u_y         {:>12}       губка {} столбцов ×{:.0}",
              if spec.outlet_extrapolate { "extrapolate" } else { "zero" },
              spec.sponge_len, spec.sponge_mult);
 
+    // Продольная акустика — не мелочь оформления, а то, что видно глазом: при заметной
+    // амплитуде поток «дышит» рывками. Печатаем период моды и то, чем она гасится.
+    {
+        let cs = math::CS2.sqrt();
+        let period = 4.0 * spec.nx as R / cs; // четвертьволновая труба: lambda = 4L
+        let nu = math::nu_of_beta(spec.beta0);
+        let k = std::f64::consts::PI / (2.0 * spec.nx as R);
+        let efold = 1.0 / (nu * k * k);
+        println!("
+── Продольная акустика канала ──────────────────────────────────────────────");
+        println!("  вход по скорости отражает звук как жёсткий поршень, выход по давлению — как");
+        println!("  открытый конец: канал работает четвертьволновым резонатором.");
+        println!("  период основной моды {:>10.0} шагов = {:.4} с", period, period * spec.units.dt);
+        println!("  затухание вязкостью  {:>10.0} шагов на е-кратное — то есть сама не гаснет", efold);
+        print!("  чем гасится:         ");
+        if spec.init_uniform {
+            print!("старт из однородного потока (моду не возбуждаем)");
+        } else {
+            print!("РАЗГОН ИЗ ПОКОЯ за {} шагов", spec.ramp);
+            if (spec.ramp as R) < period {
+                print!(" — короче периода моды, будет звон!");
+            }
+        }
+        if spec.sponge_len > 0 {
+            println!(" + губка {} столбцов ×{:.0}", spec.sponge_len, spec.sponge_mult);
+        } else {
+            println!("; губка ВЫКЛЮЧЕНА");
+        }
+    }
+
     // Пара «вход по скорости / выход по давлению» — недодемпфированный акустический резонатор:
     // затухание продольной моды ~ ν(π/Nx)², то есть на длинном домене её почти ничто не гасит,
     // и стартовый транзиент способен раскачать её до смещённого режима или до развала счёта.
-    if spec.sponge_len == 0 && spec.nx >= 250 {
-        println!("
-  ⚠ домен длинный ({} столбцов), губка выключена. Продольная акустическая", spec.nx);
-        println!("    мода затухает как ν(π/Nx)² и на такой длине почти не гасится: возможен уход");
-        println!("    ⟨ρ⟩ от единицы (режим смещён, числа несопоставимы) вплоть до развала счёта.");
-        println!("    Смотрите ⟨ρ⟩ в отчёте о сходимости; лечится ключом --sponge-len 32.");
-    }
 
     if cli.gif.is_some() {
         println!("\n── Анимация (синхронизация с физическим временем) ───────────────────────────");
@@ -791,6 +861,31 @@ fn final_report(
         println!("rms Cl насыщен ({:+.4}); дрейф-устойчивый Cd = {cdn1:.3}", clr1 - clr0);
     }
 
+    // ── измеренная продольная пульсация ──
+    // Колебание средней плотности — это и есть та самая «поршневая» мода. Переводим его в
+    // амплитуду скорости: для бегущей акустической волны u' = (δρ/ρ)·c_s.
+    {
+        let cs = math::CS2.sqrt();
+        let last = &rho[n - n / 10..];
+        let lo = last.iter().cloned().fold(R::INFINITY, R::min);
+        let hi = last.iter().cloned().fold(R::NEG_INFINITY, R::max);
+        let mean = last.iter().sum::<R>() / last.len() as R;
+        let u_ac = 0.5 * (hi - lo) / mean * cs;
+        let ratio = u_ac / u.u_lat;
+        println!("
+── Продольная пульсация (последняя десятая часть прогона) ───────────────────");
+        println!("  размах ⟨ρ⟩ = {:.5} вокруг {mean:.5}  ⇒  амплитуда скорости u' = {:.2}% от U",
+                 hi - lo, ratio * 100.0);
+        if ratio > 0.05 {
+            println!("  ⚠ ПОТОК ЗАМЕТНО ПУЛЬСИРУЕТ: это продольная мода канала, а не физика следа.");
+            println!("    Лечится стартом из однородного потока (--init uniform) и губкой");
+            println!("    (--sponge-len {}). Числа Cd/St на таком прогоне недостоверны.",
+                     (spec.nx / 12).max(16));
+        } else {
+            println!("  пульсация в пределах нормы — продольная мода не раскачана");
+        }
+    }
+
     // ── диагностика KBC ──
     if spec.collision == Collision::Kbc {
         let (g_m, g_s) = math::mean_std(&recs[h..].iter().map(|r| r.gamma_mean).collect::<Vec<_>>());

docs/theory/2d_solver/src/math.rs

@@ -86,6 +86,33 @@ pub fn feq(rho: R, ux: R, uy: R) -> [R; Q] {
     ]
 }
 
+/// Приближение Града — ур. (58) 2D-статьи. Восстанавливает популяции по ρ, u и ПОЛНОМУ
+/// тензору давлений Π (то есть вместе с неравновесной частью Π⁽¹⁾):
+///
+///   f*_i = W_i [ ρ + ρu_α v_iα/c_s² + (1/2c_s⁴)(Π_αβ − ρc_s²δ_αβ)(v_iα v_iβ − c_s²δ_αβ) ]
+///
+/// Нужно для корректного СТАРТА: инициализация одним равновесием обнуляет Π⁽¹⁾, схема тратит
+/// несколько шагов на её восстановление, и этот стартовый дефект портит наблюдаемый порядок
+/// сходимости. Статья инициализирует эталонные течения именно так.
+///
+/// По построению сохраняет ρ и ρu точно (третий момент весов обнуляется по симметрии).
+///
+/// В самом решателе пока не используется: канальная постановка стартует с однородного потока,
+/// где Π⁽¹⁾ = 0 и приближение Града вырождается в равновесие. Нужна для эталонных течений,
+/// у которых стартовое поле имеет ненулевые градиенты.
+#[cfg_attr(not(test), allow(dead_code))]
+#[inline]
+pub fn grad_init(rho: R, ux: R, uy: R, pxx: R, pxy: R, pyy: R) -> [R; Q] {
+    let axx = pxx - rho * CS2;
+    let ayy = pyy - rho * CS2;
+    std::array::from_fn(|i| {
+        let cx = CX[i] as R;
+        let cy = CY[i] as R;
+        let quad = axx * (cx * cx - CS2) + 2.0 * pxy * cx * cy + ayy * (cy * cy - CS2);
+        W[i] * (rho + rho * (ux * cx + uy * cy) / CS2 + quad / (2.0 * CS2 * CS2))
+    })
+}
+
 /// Макропеременные: ρ = Σ f_i, u = (Σ c_i f_i)/ρ.
 #[inline]
 pub fn macros(f: &[R; Q]) -> (R, R, R) {
@@ -99,22 +126,58 @@ pub fn macros(f: &[R; Q]) -> (R, R, R) {
 //  KBC: проектор на сдвиг, энтропийный стабилизатор, столкновение
 // ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
 
-/// Δs = Ps·Δ — проекция неравновесия на сдвиговую часть модели KBC D: натуральные моменты
+/// Состав сдвиговой части s — то, что релаксирует жёстко с 2β. Всё остальное попадает в h и
-/// N = M20 − M02 и Π_xy = M11.
+/// отдаётся энтропийному стабилизатору γ. Выбор берётся из табл. I 2D-статьи; в 3D-работах
+/// те же варианты называются N1 и N2.
+#[derive(Clone, Copy, Debug, PartialEq, Eq)]
+pub enum KbcModel {
+    /// s = {N, Π_xy} — только девиатор напряжений. 2D-статья: **KBC D**; 3D: **KBC-N1**.
+    /// След T уходит в h, поэтому объёмная вязкость ξ = c_s²(1/(γβ) − ½) гуляет вместе с γ
+    /// и способна уходить в минус — локальное антизатухание звука (ур. 57).
+    N1,
+    /// s = {N, Π_xy, T} — девиатор плюс след. 2D-статья: **KBC C**; 3D: **KBC-N2**.
+    /// Объёмная вязкость фиксирована и положительна: ξ = ν (ур. 57). Полезно там, где в
+    /// задаче есть слабозатухающая акустика.
+    N2,
+}
+
+impl KbcModel {
+    pub fn from_str(s: &str) -> Option<Self> {
+        Some(match s.to_ascii_lowercase().as_str() {
+            "n1" | "d" => KbcModel::N1,
+            "n2" | "c" => KbcModel::N2,
+            _ => return None,
+        })
+    }
+    pub const ALL: [&'static str; 2] = ["n1", "n2"];
+}
+
+/// Δs = Ps·Δ — проекция неравновесия на сдвиговую часть выбранной модели.
 ///
-/// Аналитическая форма, прямо из представления популяций через натуральные моменты (10):
+/// Аналитическая форма, прямо из представления популяций через натуральные моменты (ур. 10).
-/// вклад N сидит только в f(σ,0) (+ρN/4) и f(0,λ) (−ρN/4), вклад Π_xy — только в f(σ,λ)
+/// Вклад N = M20 − M02 сидит только в f(σ,0) (+ρN/4) и f(0,λ) (−ρN/4); вклад Π_xy = M11 —
-/// (+σλ·ρΠ_xy/4). Поскольку n_i и p_i линейны по своим моментам, а ρ у f и feq одинакова,
+/// только в f(σ,λ) (+σλ·ρΠ_xy/4); вклад следа T = M20 + M02 — в f(0,0) (−ρT) и в f(σ,0),
-/// разности берутся покомпонентно. Эквивалентно матричному Ps = M⁻¹·diag(0,0,0,0,1,1,0,0,0)·M
+/// f(0,λ) (по +ρT/4). Все три вклада линейны по своим моментам, а ρ у f и feq одинакова,
-/// (проверяется тестом `projector_matches_moment_matrix`), но без матрицы 9×9.
+/// поэтому разности берутся покомпонентно. Эквивалентно матричному
+/// Ps = M⁻¹·diag(оставить нужные моменты)·M, но без матрицы 9×9.
 #[inline]
-pub fn project_shift(d: &[R; Q]) -> [R; Q] {
+pub fn project_shift(d: &[R; Q], model: KbcModel) -> [R; Q] {
     // ρΔN = Σ (c_x² − c_y²)Δ_i  и  ρΔΠ_xy = Σ c_x c_y Δ_i
     let dn = d[1] + d[3] - d[2] - d[4];
     let dp = d[5] + d[7] - d[6] - d[8];
     let a = 0.25 * dn;
     let b = 0.25 * dp;
-    [0.0, a, -a, a, -a, b, -b, b, -b]
+    let mut s = [0.0, a, -a, a, -a, b, -b, b, -b];
+    if let KbcModel::N2 = model {
+        // ρΔT = Σ (c_x² + c_y²)Δ_i
+        let dt = d[1] + d[2] + d[3] + d[4] + 2.0 * (d[5] + d[6] + d[7] + d[8]);
+        s[0] -= dt;
+        let q = 0.25 * dt;
+        for v in s.iter_mut().take(5).skip(1) {
+            *v += q;
+        }
+    }
+    s
 }
 
 /// Что вернуло столкновение помимо новых популяций — нужно для диагностики KBC.
@@ -137,7 +200,7 @@ pub struct Kbc {
 /// При γ = 2 совпадает с LBGK. Сдвиговые моменты релаксируют с точным 2β = 1/τ при любом γ,
 /// поэтому кинематическая вязкость (5) от стабилизатора не зависит.
 #[inline]
-pub fn collide_node(f: &mut [R; Q], beta: R) -> Kbc {
+pub fn collide_node(f: &mut [R; Q], beta: R, model: KbcModel) -> Kbc {
     let (rho, ux, uy) = macros(f);
     let fe = feq(rho, ux, uy);
 
@@ -145,7 +208,7 @@ pub fn collide_node(f: &mut [R; Q], beta: R) -> Kbc {
     for i in 0..Q {
         d[i] = f[i] - fe[i];
     }
-    let ds = project_shift(&d);
+    let ds = project_shift(&d, model);
 
     let (mut num, mut den, mut nrm) = (0.0, 0.0, 0.0);
     for i in 0..Q {
@@ -197,8 +260,13 @@ pub fn beta_of_nu(nu: R) -> R {
 /// Отрицательная ξ означает локальное антизатухание акустической моды — поэтому в отчёте
 /// печатается доля узлов с ξ < 0 (см. report в main.rs).
 #[inline]
-pub fn xi_of_gamma(gamma: R, beta: R) -> R {
+pub fn xi_of_gamma(gamma: R, beta: R, model: KbcModel) -> R {
-    CS2 * (1.0 / (gamma * beta) - 0.5)
+    match model {
+        // след в h — ξ зависит от стабилизатора и может стать отрицательной
+        KbcModel::N1 => CS2 * (1.0 / (gamma * beta) - 0.5),
+        // след в s — ξ равна сдвиговой вязкости и всегда положительна
+        KbcModel::N2 => nu_of_beta(beta),
+    }
 }
 
 // ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
@@ -737,17 +805,18 @@ mod tests {
     use super::*;
 
     /// Проектор Δs, построенный аналитически, обязан совпадать с матричным
-    /// Ps = M⁻¹·diag(…,1,1,…)·M, где M — базис натуральных моментов из (6)–(7).
+    /// Ps = M⁻¹·D·M, где M — базис натуральных моментов (6)–(7), а D оставляет ровно те
+    /// моменты, которые входят в сдвиговую часть выбранной модели (табл. I).
     #[test]
     fn projector_matches_moment_matrix() {
-        // строки M: 1, cx, cy, 3(cx²+cy²)−2, cx²−cy², cx·cy, cx²cy, cx cy², cx²cy²
+        // строки M: 1, cx, cy, T=cx²+cy², N=cx²−cy², Π_xy=cx·cy, cx²cy, cx cy², cx²cy²
         let mut m = [[0.0f64; Q]; Q];
         for i in 0..Q {
             let (x, y) = (CX[i] as f64, CY[i] as f64);
             m[0][i] = 1.0;
             m[1][i] = x;
             m[2][i] = y;
-            m[3][i] = 3.0 * (x * x + y * y) - 2.0;
+            m[3][i] = x * x + y * y;
             m[4][i] = x * x - y * y;
             m[5][i] = x * y;
             m[6][i] = x * x * y;
@@ -755,28 +824,61 @@ mod tests {
             m[8][i] = x * x * y * y;
         }
         let minv = invert9(&m);
-        // Ps = M⁻¹ · D · M, D оставляет строки 4 (N) и 5 (Π_xy)
+        for (model, keep) in
+            [(KbcModel::N1, vec![4usize, 5]), (KbcModel::N2, vec![3usize, 4, 5])]
+        {
             let mut ps = [[0.0f64; Q]; Q];
             for a in 0..Q {
                 for b in 0..Q {
-                ps[a][b] = minv[a][4] * m[4][b] + minv[a][5] * m[5][b];
+                    ps[a][b] = keep.iter().map(|&k| minv[a][k] * m[k][b]).sum();
                 }
             }
-        // сверяем на случайных (детерминированных) векторах
             let mut seed = 12345u64;
             let mut rnd = || {
                 seed = seed.wrapping_mul(6364136223846793005).wrapping_add(1442695040888963407);
                 ((seed >> 33) as f64 / (1u64 << 31) as f64) - 1.0
             };
             for _ in 0..200 {
-            let d: [f64; Q] = std::array::from_fn(|_| rnd());
+                // проектор сравниваем на ФИЗИЧЕСКИ допустимых Δ: у них моменты массы и
-            let got = project_shift(&d);
+                // импульса нулевые (и f, и feq несут одни и те же ρ, ρu)
+                let mut d: [f64; Q] = std::array::from_fn(|_| rnd());
+                let mass: f64 = d.iter().sum();
+                let mx: f64 = (0..Q).map(|i| CX[i] as f64 * d[i]).sum();
+                let my: f64 = (0..Q).map(|i| CY[i] as f64 * d[i]).sum();
+                for i in 0..Q {
+                    d[i] -= W[i] * (mass + 3.0 * (CX[i] as f64 * mx + CY[i] as f64 * my));
+                }
+                let got = project_shift(&d, model);
                 for a in 0..Q {
                     let want: f64 = (0..Q).map(|b| ps[a][b] * d[b]).sum();
-                assert!((got[a] - want).abs() < 1e-13, "i={a}: {} vs {}", got[a], want);
+                    assert!(
+                        (got[a] - want).abs() < 1e-13,
+                        "{model:?} i={a}: {} vs {want}",
+                        got[a]
+                    );
                 }
             }
         }
+    }
+
+    /// Объёмная вязкость по ур. (57): у модели со следом в сдвиговой части она равна
+    /// сдвиговой и не зависит от стабилизатора, у модели без следа — зависит.
+    #[test]
+    fn bulk_viscosity_follows_model() {
+        let beta = 1.0 / (2.0 * 0.7);
+        let nu = nu_of_beta(beta);
+        for &g in &[0.5, 1.0, 1.7, 3.0] {
+            assert!(
+                (xi_of_gamma(g, beta, KbcModel::N2) - nu).abs() < 1e-15,
+                "N2: ξ обязана равняться ν при любой γ"
+            );
+            let want = CS2 * (1.0 / (g * beta) - 0.5);
+            assert!((xi_of_gamma(g, beta, KbcModel::N1) - want).abs() < 1e-15);
+        }
+        // у N1 ξ уходит в минус при достаточно большой γ — то самое антизатухание звука
+        let g_neg = 2.0 / (beta * CS2) * CS2;
+        assert!(xi_of_gamma(g_neg * 2.0, beta, KbcModel::N1) < 0.0);
+    }
 
     /// Ps обязан быть идемпотентным (это проектор) и не трогать сохраняющиеся моменты.
     #[test]
@@ -788,8 +890,9 @@ mod tests {
         };
         for _ in 0..100 {
             let d: [f64; Q] = std::array::from_fn(|_| rnd());
-            let s1 = project_shift(&d);
+            for model in [KbcModel::N1, KbcModel::N2] {
-            let s2 = project_shift(&s1);
+            let s1 = project_shift(&d, model);
+            let s2 = project_shift(&s1, model);
             for i in 0..Q {
                 assert!((s1[i] - s2[i]).abs() < 1e-14);
             }
@@ -800,6 +903,7 @@ mod tests {
             assert!(mx.abs() < 1e-13 && my.abs() < 1e-13);
             }
         }
+    }
 
     /// Равновесие обязано точно сохранять ρ и ρu (оно — максимизатор энтропии при этих связях).
     #[test]
@@ -823,7 +927,7 @@ mod tests {
         let (rho, ux, uy) = macros(&f);
         let fe = feq(rho, ux, uy);
         let d: [f64; Q] = std::array::from_fn(|i| f[i] - fe[i]);
-        let ds = project_shift(&d);
+        let ds = project_shift(&d, KbcModel::N1);
         let dh: [f64; Q] = std::array::from_fn(|i| d[i] - ds[i]);
 
         // невязка условия (15)
@@ -835,7 +939,7 @@ mod tests {
                 .sum()
         };
         let mut fc = f;
-        let info = collide_node(&mut fc, beta);
+        let info = collide_node(&mut fc, beta, KbcModel::N1);
         let r0 = resid(info.gamma).abs();
         let r1 = resid(info.gamma + 1.0).abs().min(resid(info.gamma - 1.0).abs());
         assert!(r0 < 0.05 * r1, "невязка (15) при γ*: {r0:.3e}, на ±1 от него: {r1:.3e}");
@@ -850,10 +954,10 @@ mod tests {
         let (rho, ux, uy) = macros(&f);
         let fe = feq(rho, ux, uy);
         let d: [f64; Q] = std::array::from_fn(|i| f[i] - fe[i]);
-        let ds = project_shift(&d);
+        let ds = project_shift(&d, KbcModel::N1);
         let mut pure_shear: [f64; Q] = std::array::from_fn(|i| fe[i] + ds[i]);
         let mut bgk = pure_shear;
-        collide_node(&mut pure_shear, beta);
+        collide_node(&mut pure_shear, beta, KbcModel::N1);
         collide_node_bgk(&mut bgk, beta);
         for i in 0..Q {
             assert!((pure_shear[i] - bgk[i]).abs() < 1e-12, "i={i}");
@@ -864,20 +968,26 @@ mod tests {
     /// что вязкость (5) задаётся только β, а стабилизатор её не трогает.
     #[test]
     fn shear_relaxes_at_two_beta_regardless_of_gamma() {
+        for model in [KbcModel::N1, KbcModel::N2] {
             for &beta in &[0.3, 0.6, 0.95] {
                 let mut f = perturbed_state(0.8);
                 let (rho, ux, uy) = macros(&f);
                 let fe = feq(rho, ux, uy);
                 let d0: [f64; Q] = std::array::from_fn(|i| f[i] - fe[i]);
-            let s0 = project_shift(&d0);
+                let s0 = project_shift(&d0, model);
-            collide_node(&mut f, beta);
+                collide_node(&mut f, beta, model);
                 let (r1, x1, y1) = macros(&f);
                 let fe1 = feq(r1, x1, y1);
                 let d1: [f64; Q] = std::array::from_fn(|i| f[i] - fe1[i]);
-            let s1 = project_shift(&d1);
+                let s1 = project_shift(&d1, model);
                 for i in 0..Q {
                     let want = (1.0 - 2.0 * beta) * s0[i];
-                assert!((s1[i] - want).abs() < 1e-10, "β={beta} i={i}: {} vs {want}", s1[i]);
+                    assert!(
+                        (s1[i] - want).abs() < 1e-10,
+                        "{model:?} β={beta} i={i}: {} vs {want}",
+                        s1[i]
+                    );
+                }
             }
         }
     }
@@ -888,7 +998,7 @@ mod tests {
         for &beta in &[0.25, 0.5, 0.99] {
             let mut f = perturbed_state(0.7);
             let before = macros(&f);
-            collide_node(&mut f, beta);
+            collide_node(&mut f, beta, KbcModel::N1);
             let after = macros(&f);
             assert!((before.0 - after.0).abs() < 1e-13);
             assert!((before.1 - after.1).abs() < 1e-12);