CFDManager/docs/theory/2d_solver

kbc2d — двумерный решатель LBM D2Q9 с энтропийным столкновением KBC

Переписанный на Rust решатель обтекания тела в канале. Физика — та же, что в docs/theory/solver_2x_sdf (python/CuPy), но собранная заново: с тестами против формул первоисточников, двумя взаимозаменяемыми бэкендами и анимацией, привязанной к физическому времени потока.

Оператор столкновения — энтропийный KBC по работам Bösch, Chikatamarla, Karlin: Entropic Multi-Relaxation Models for Simulation of Fluid Turbulence (arXiv:1507.02509, двумерная реализация) и Entropic multi-relaxation lattice Boltzmann scheme for turbulent flows (2024, трёхмерная). Состав сдвиговой части выбирается ключом --kbc-model: n1 — только девиатор {N, Π_xy} (в 2D-статье KBC D), n2 — девиатор со следом {N, Π_xy, T} (KBC C). Статьи лежат в docs/origins/; ссылки на формулы в коде и ниже даны по нумерации 2D-статьи.

Устройство

Пять файлов по ролям — каждый отвечает ровно за одно:

файл	роль
src/math.rs	математика решателя. Решётка D2Q9, энтропийное равновесие в product-form, проектор на сдвиг, стабилизатор γ, столкновение, Zou–He, геометрия тел через SDF, перевод единиц, спектральная диагностика. Всё узловое и чистое; здесь же тесты против формул статьи.
src/cpu.rs	бэкенд под процессор. Раскладка AoS, обход сетки, rayon, сборка Bouzidi-линков, связка уровней AMR. Физику берёт из math.
src/gpu.rs	бэкенд под видеокарту. wgpu + WGSL (Vulkan/DX12/Metal), раскладка SoA. Физика построчно повторяет math.rs на f32; топологию (маски, линки, рамка патча) не дублирует, а берёт из cpu.
src/main.rs	запуск и оркестрирование. Разбор параметров, сборка постановки, цикл по шагам, живой вывод и итоговый отчёт, выгрузка рядов в CSV. Здесь же контракт Spec / StepRec / FieldKind, общий для обоих бэкендов.
src/gif.rs	создание гифок. Тайминг относительно физического времени, палитры, нормировка, служебная надпись, кодирование.

Сборка и запуск

Нужен Rust 1.75+.

cargo build --release                       # с GPU-бэкендом
cargo build --release --no-default-features  # только CPU (без wgpu)
cargo test --release                         # 22 быстрых теста
cargo test --release -- --include-ignored    # плюс эталоны статьи (~18 с)

Пример: цилиндр Re=150, гифка завихренности в реальном времени.

./target/release/kbc2d --shape cylinder --size 24 --re 150 \
    --nx 480 --ny 240 --steps 40000 --sponge-len 32 \
    --gif wake.gif --gif-field vorticity --verbose full

--help показывает все ключи, разбитые по группам: Физика, Сетка, Тело, Время, Схема, Анимация, Вывод.

Синхронизация анимации с физическим временем

Требование: гифка идёт с той же скоростью, что и настоящий поток, независимо от того, с какой скоростью считает машина. Реальная производительность в тайминг не входит вообще.

В LBM скорость самой решётки жёстко равна c = δx/δt = 1, поэтому шаг по времени однозначно определяется тем, какую решёточную скорость u_lat мы назначаем физическому потоку:

δt = u_lat · δx / u_phys          [с/шаг]
шагов в секунду = u_phys / (u_lat · δx)
задержка кадра  = (шагов на кадр) · δt / playback

Про пример из постановки. «30 м/с, ячейка 0.1 м ⇒ 300 шагов/с» — это арифметика δt = δx/u_phys, то есть u_lat = 1: поток проходит ровно ячейку за шаг. Формула воспроизводится буквально ключом --u-lat 1.0 (тест units_time_scaling это проверяет), но физически такой режим негоден: Ma = u_lat/c_s = √3 ≈ 1.73, сверхзвук, разложение Чепмена–Энскога не работает. Поэтому по умолчанию u_lat = 0.05 (Ma ≈ 0.087), и те же 30 м/с при ячейке 0.1 м дают 6000 шагов/с. Синхронность гифки выдерживается в обоих случаях — меняется только, сколько шагов приходится на кадр.

Две тонкости формата GIF, обе разобраны:

1. Задержка хранится в сотых долях секунды. Точная физическая задержка почти никогда не целая: 30 кадр/с — это 3⅓ сотых. Покадровое округление до 3 дало бы анимацию на 11% быстрее реальности, и уход копился бы линейно (к тысячному кадру — 3.3 секунды). Поэтому задержки выдаёт накопитель DelayDither: суммарное время кадров отслеживает точное физическое с точностью до одной сотой (3, 3, 4, 3, 3, 4, …), ошибка ограничена ±5 мс и не растёт.
2. Меньше одной сотой не бывает. При физически корректном u_lat кадр каждые 10 шагов — это 600 кадр/с, чего формат не умеет. Поэтому режим по умолчанию --gif-every auto подбирает шаг сам под --gif-fps (30) так, чтобы получилось ровно реальное время. Если шаг задан жёстко и задержка не представима, программа печатает фактический коэффициент расхождения и конкретный совет, как починить.

--gif-speed 0.1 даёт замедление в 10 раз (тоже точно, через тот же накопитель).

Шаг — не фиксированная порция времени

Физическая длительность шага привязана к размеру клетки: δt = u_lat·δx/u_phys. Уменьшили клетку вдвое — вдвое уменьшился и δt, и то же число шагов покроет вдвое меньше физического времени. Отсюда --time: задаёте длительность в секундах, число шагов считается само.

Измельчение стоит дважды: клеток становится (1/δx)², а шагов на ту же секунду — 1/δx, итого работы ~(1/δx)³ в двумерии. И помните, что --size задаётся В КЛЕТКАХ: уменьшив клетку и не тронув --size, вы уменьшите тело физически.

Судить о длительности удобнее всего по конвективным временам D/U — их печатает шапка. Это единственная мера, не зависящая ни от сетки, ни от выбора u_lat.

Что параметризовано

• поток: скорость (м/с), направление, число Рейнольдса, решёточная скорость (число Маха);
• сетка: размеры домена и размер ячейки в метрах (плотность сетки), коэффициент измельчения вложенного патча и его границы;
• тело: семь форм на выбор — cylinder, square, diamond, ellipse, naca, triangle, plate — плюс характерный размер, относительная толщина, угол атаки и положение;
• время: длительность прогона — либо числом шагов (--steps), либо прямо в СЕКУНДАХ физического времени (--time, число шагов считается как time/δt); начальное поле (однородный поток либо покой с разгоном), длина разгона, амплитуда и длительность стартового возмущения;
• схема: оператор столкновения (kbc/bgk), состав сдвиговой части (n1/n2), модель стенки на теле (bouzidi/grad/staircase), режим выхода, поглощающая губка, бэкенд, число потоков;
• анимация: файл, поле (speed/vorticity/density/gamma), палитра, масштаб, шаг кадра, частота, скорость воспроизведения, диапазон нормировки;
• вывод: период живых строк, три уровня подробности, число окон в отчёте о сходимости, CSV.

Что печатает отчёт

Шапка — вся постановка с производными величинами: δt, шагов на секунду, Ma, τ, физическая вязкость, блокировка канала, геометрия патча, полный план тайминга анимации.

Живой вывод — шаг, физическое время, ⟨ρ⟩, max|u|, Cd, Cl, скорость счёта и ETA; на уровне full дополнительно ⟨γ⟩ с размахом, доля вырожденных узлов, доля узлов с ξ < 0, MLUPS и отношение скорости счёта к реальному времени.

Итог — установившийся режим (St, ⟨Cd⟩, rms Cl, ⟨Cm⟩) сырой и с поправкой на блокировку, рядом литературные значения для цилиндра; таблица сходимости по окнам с вердиктом о дрейфе массы и насыщении; разбор стабилизатора γ; производительность.

Состояние проверки

Опора — статьи авторов метода из docs/origins/, а не сторонние реализации. Ссылки на формулы даны по нумерации 2D-статьи (arXiv:1507.02509); там, где полезнее формулировка из работы 2024 года по трёхмерной реализации, это отмечено отдельно.

Оператор столкновения сверен с листингом статьи

Работа 2024 года приводит оператор явным пошаговым листингом (разд. IV). Реализация повторяет его дословно: ρ, u → f^eq → s и s^eq → Δs = s − s^eq → Δh = h − h^eq = f − f^eq − Δs → γ по замкнутой оценке → f′ = f − β(2Δs + γΔh).

Проверено тестами (cargo test, 22 быстрых + 4 длинных):

• проектор Δs совпадает с матричным M⁻¹·D·M в базисе натуральных моментов (6)–(7) до 1e-13 — для обоих составов сдвиговой части; идемпотентен, не несёт ни массы, ни импульса;
• γ из замкнутой оценки (ур. 17 / ур. 25 работы 2024) — корень условия максимума энтропии (ур. 15 / 23): невязка при γ* более чем в 20 раз меньше, чем при γ*±1;
• при γ = 2 схема совпадает с LBGK поточечно — как и заявлено под ур. (14);
• сдвиговые моменты релаксируют ровно с 2β при любой γ (β = 0.3, 0.6, 0.95, обе модели) — именно это гарантирует, что стабилизатор не трогает вязкость;
• вязкость по ур. (5) воспроизводится затуханием сдвиговой волны точнее 1% (τ = 0.6 и 1.0);
• объёмная вязкость по ур. (57): ξ = ν при следе в сдвиговой части и ξ = c_s²(1/(γβ) − ½) без него;
• равновесие в product-form сохраняет ρ и ρu до 1e-13; Zou–He ставит ровно заданные скорость на входе и плотность на выходе; SDF всех семи форм даёт верный знак и |∇φ| = 1 ± 0.05.

Вихрь Тейлора–Грина: второй порядок сходимости (разд. VI)

Единственное из трёх эталонных течений статьи с ТОЧНЫМ аналитическим решением, поэтому проверяется не «похоже на чужой прогон», а прямое совпадение с формулой:

u = ∇×[(u₀/k₂)cos(k₁x)cos(k₂y)·exp(−ν(k₁²+k₂²)t)],  k₁ = 1, k₂ = 4,
область 0 < x,y < 2π на N×N,  Re = u₀N/ν,  полураспад t_c = ln2/[ν(k₁²+k₂²)].

Старт — приближением Града (ур. 58), как в статье. Метрика — как на рис. 1: Σ|u_x − u_x^точн| / Σ|u_x^точн| в момент t_c.

N	u₀	Re	полная	амплитуда	форма
64	0.03	100	6.68e-3	6.49e-3	8.65e-4
128	0.015	100	1.61e-3	1.57e-3	2.07e-4
256	0.0075	100	4.00e-4	3.89e-4	4.36e-5

Порядок 2.05 и 2.01 — второй порядок статьи воспроизведён, причём отдельно по амплитуде (скорость затухания) и по форме.

Два места, где пришлось разобраться, и оба поучительны:

1. Давление в начальных условиях. Течение несёт собственное поле давления порядка ρu₀², находимое из ∇²p = 2ρ(ψ_xx·ψ_yy − ψ_xy²): p = −(ρu₀²/4)[cos(2k₁x) + (k₁²/k₂²)cos(2k₂y)]. Старт с ρ ≡ 1 сбрасывает эту разницу в акустику, которая в периодическом ящике почти не затухает и садится полкой на ошибку. Работа 2024 года делает то же самое явно: там начальные ρ и старшие моменты получают, решая ∂ρ/∂t + ∇·(ρu₀) = D∇²ρ до стационара.
2. Способ измельчения. При фиксированном u₀ ошибка упирается в полку O(Ma²), от сетки не зависящую (измерено: относительная ошибка формы ∝ u₀¹·⁰⁷, то есть абсолютная ∝ Ma²). Второй порядок виден целиком только при диффузионном измельчении — ν фиксирована, u₀ ∝ 1/N, тогда Re сохраняется, а Маха падает вместе с сеткой. Это свойство слабо-сжимаемого метода, а не реализации: LBGK на том же тесте даёт ту же полку (1.39/1.37/1.36e-3 против 0.86/1.05/1.23e-3 у KBC), что согласуется с утверждением статьи «все модели работают практически одинаково».

Дважды периодический сдвиговый слой (разд. VII)

Второй эталон статьи: N = 128, Re = 30000, u₀ = 0.04, κ = 80, δ = 0.05, одно конвективное время. Отношение энстрофии к начальной сходится с fp64-значением 0.6035. Тест чувствителен именно к тому, что важно: на испорченном (абсолютном) пороге вырожденности γ тот же прогон даёт 0.6599, то есть +9.3%, а чистый LBGK при этих параметрах разваливается.

Порог вырожденности γ

GREL = 1e-8 — относительный порог, доля от ⟨Δ|Δ⟩, а не абсолютный. Знаменатель ⟨Δh|Δh⟩ квадратичен по неравновесию и физически мал (~1e-7…1e-9 в развитом следе), поэтому абсолютный порог срабатывает на подавляющем большинстве узлов и молча подменяет γ на 2 — то есть гонит чистый LBGK вместо KBC. Работа 2024 года прямо об этом: γ «далеко не постоянна», её эволюция тесно связана с состоянием потока, и «любой MRT с γ = const не достигнет той же устойчивости». Доля вырожденных узлов печатается в отчёте; на исправном пороге она обязана быть ~0.

Единственное исключение — самый первый шаг: поле в точности равно равновесию, Δ ≡ 0, и порог честно срабатывает везде. На результат это не влияет: γ умножается на Δh = 0.

Выбор состава сдвиговой части (табл. I)

Ключ --kbc-model:

• n1 (умолчание) — s = {N, Π_xy}, только девиатор. 2D-статья: KBC D; 3D: KBC-N1.
• n2 — s = {N, Π_xy, T}, девиатор со следом. 2D-статья: KBC C; 3D: KBC-N2.

По точности они неразличимы, как и заявляет статья: на одной постановке St 0.1828 у обоих, ⟨Cd⟩ 1.4479 против 1.4468, rms Cl 0.383 против 0.388.

Разница — в объёмной вязкости (ур. 57). У n2 она фиксирована: ξ = ν. У n1 она равна c_s²(1/(γβ) − ½) и, поскольку измеренная ⟨γ⟩ ≈ 1.73 < 2, в среднем оказывается примерно вчетверо БОЛЬШЕ ν. Отрицательной она бывает лишь в долях процента узлов. Практический вывод против ожидания: n1 демпфирует продольную акустику сильнее, и в специально испорченной постановке (старт из покоя, губка выключена) n1 доживает до конца с пульсацией 75% от U, а n2 разваливается. Поэтому умолчание — n1.

Модель стенки на теле: насколько она субсеточная

Ключ --wall:

• bouzidi (умолчание) — интерполированный отскок: доля пересечения q входит в КАЖДУЮ восстанавливаемую популяцию, полинково;
• grad — условие Града (Dorschner, Bösch, Chikatamarla, Boulouchos, Karlin, JFM 801 (2016), разд. 2.1 и прил. B): задаются не популяции, а целевые моменты — ρ, u и тензор давлений, — после чего недостающие популяции собираются приближением Града (2.13);
• staircase — простой отскок, q игнорируется. Не для счёта: это база сравнения, показывающая, сколько именно даёт субсеточность.

Субсеточность — измеренная. Прямой тест: сдвигаем тело внутри клетки и смотрим, насколько поедет Cd. У по-настоящему субсеточной границы ответ не должен зависеть от того, где тело стоит относительно узлов (Re = 20, D = 16, стационар, сдвиги 0…½ клетки):

модель	разброс Cd	Cd
staircase	1.11%	2.68–2.71
grad	0.64%	2.64–2.66
bouzidi	0.19%	2.653–2.658

Град оказывается ровно между ступенькой и Bouzidi, и это следует из его устройства: положение стенки входит туда ТОЛЬКО через целевую скорость (B 1) — одну усреднённую по узлу величину. Целевая плотность (B 3) — обычная сумма отскочивших и известных популяций, без q вовсе; тензор давлений — конечные разности по решётке, тоже без q. Плюс все недостающие популяции узла собираются из ОДНОГО набора моментов, так что полинковая направленность теряется. Bouzidi же подставляет свою q в каждую популяцию отдельно. Ступенчатой поверхность у Града не становится, но геометрия у него разрешена заметно грубее.

Сходимость по разрешению тела. Физическая постановка фиксирована (домен 15D × 10D, блокировка 0.1, Re = 20), меняется только число клеток на диаметр:

D	bouzidi	grad
8	2.581	2.618
16	2.529	2.534
32	2.521	2.521

Обе модели состоятельны и сходятся к одному пределу с наблюдаемым порядком ≈2.7; к D = 32 они неразличимы. Но на грубой сетке Град заметно хуже: ошибка при D = 8 равна 0.097 против 0.060. Для сравнения, staircase при D = 16 даёт 2.69 — то есть +6.7% к пределу, тогда как обе субсеточные модели держатся в пределах +0.4%.

Зачем тогда Град. Его преимущество в статье — не геометрическая точность, а устойчивость на турбулентных режимах (авторы пишут, что интерполяционные схемы «ограничены низкими числами Рейнольдса, поскольку на границе возникают паразитные скачки») и естественная форма для подвижных стенок: скорость стенки входит в целевые значения, а не отдельной поправкой. В здешней канальной постановке преимущества по устойчивости воспроизвести не удалось: при росте Re обе модели теряют счёт на одном и том же значении (Re ≈ 5·10⁴ при теле в 16 клеток), то есть ограничивает не стенка, а что-то другое — вероятнее всего Zou–He при τ → ½. Поэтому умолчание — bouzidi, а grad стоит держать в виду для будущих подвижных тел.

Ограничение реализации: --wall grad пока только на процессорном бэкенде; GPU при таком выборе отказывается запускаться явно, а не считает молча по Bouzidi.

Паритет бэкендов и согласованность уровней

CPU (f64) и GPU (f32) на одной постановке совпадают до 4–5 значащих цифр шаг в шаг: ⟨ρ⟩ 1.04933 против 1.04934, Cd 2.339 против 2.338, ⟨γ⟩ 1.2645 против 1.2646. На Intel Iris Xe GPU даёт ≈105 MLUPS против ≈18 MLUPS у процессора.

Один и тот же случай с патчем ×2 и вовсе без измельчения (--refine 1) даёт St 0.1951 против 0.1970 и ⟨Cd⟩ 1.956 против 1.943 — связка уровней систематики не вносит.

Обтекание цилиндра против литературы

Постановка 480×240, D = 24, Re = 150, блокировка β = D/Ny = 0.1, умолчания решателя:

величина	сырое	с поправкой на блокировку	литература (безгранич. цилиндр)
St	0.1828	0.1645	0.183
⟨Cd⟩	1.448	1.173	1.33
rms Cl	0.383	0.310	~0.30
⟨Cm⟩	0.00002	—	0 (симметрия)

Поправка: St×(1−β), Cd и rms Cl ×(1−β)². Сырое St и скорректированный rms Cl ложатся на литературу; Cd после поправки ниже на 12%. ⟨Cm⟩ ≈ 0 — контроль симметрии считывания силы.

Формы тел ведут себя физично. Прогон на каждую форму (260×130, размер 20, угол атаки 12°) даёт ожидаемый порядок сопротивления: профиль 0.44, эллипс 0.45, пластина 0.60, цилиндр 1.33, ромб 1.65, квадрат 2.38, треугольник 2.72. ⟨Cm⟩ ≈ 0 только у круга (−0.0002), которому угол атаки безразличен, а у несимметричных под углом тел он ненулевой (профиль +0.31, эллипс +0.15, пластина +0.13).

Мелкие отличия от питоновского прототипа

Решатель писался заново, не как порт, но пара мест разошлась с solver_2x_sdf намеренно: внутри тела здесь не считается столкновение (эти популяции фиктивны — Bouzidi перекрывает всё, что могло бы прийти из тела в жидкость; побочно статистика γ собирается строго по жидкости), а рестрикция дополнительно пропускает узлы, у которых тонкий узел-источник лежит внутри тела. Процессорный бэкенд работает в f64, GPU-бэкенд — в f32.

Продольная акустика канала: почему поток может «дышать»

Самая заметная ловушка этой постановки, и её стоит понимать до первого запуска.

Граничное условие с заданной скоростью на входе акустически есть жёсткий поршень: оно отражает продольные волны с коэффициентом +1. Выход по давлению — наоборот, открытый конец. Вместе они делают из канала четвертьволновый резонатор с пучностью давления на входе и узлом на выходе:

период основной моды  =  4·Nx/c_s  шагов
затухание вязкостью   ~  ν(π/2Nx)²  — на длинном домене практически ноль

Измерено на 480×240: период пульсации ⟨ρ⟩ 3332 шага против расчётных 4·Nx/c_s = 3325 (0.2%), первый ноль автокорреляции на 827 шагах = ровно Nx/c_s (четверть периода). За 30000 шагов амплитуда упала на 3.8% — то есть мода не гаснет вообще. Ничто её не подкачивает; это звон от старта, запертый в почти без потерь резонаторе.

Отсюда умолчания:

• --init uniform — домен сразу заполнен набегающим потоком, вход включён на полную. Старт из покоя (--init rest) разгоняет весь столб жидкости и закачивает моду; при разгоне за 1000 шагов против акустического пробега 831 шаг это для звука удар.
• губка перед выходом включена и подобрана по домену (nx/12, не меньше 16 столбцов, с запасом до патча). Отключается --sponge-len 0.
• --outlet extrapolate — нуль-градиент поперечной скорости; жёсткий ноль отражает вихри дорожки обратно к телу.

Эффект умолчаний на той же постановке:

	размах ⟨ρ⟩	пульсация u′/U
старт из покоя, без губки	0.1307	75%
умолчания	0.0017	1.0%

Заодно выправились и сами числа: St 0.183 вместо 0.194, rms Cl 0.38 вместо 0.84, ⟨ρ⟩ 1.0000.

Отчёт печатает период моды, время её вязкого затухания и измеренную пульсацию в конце прогона, с явным предупреждением, если она превысила 5% от U.

Дальше

• σ·n-кросс-чек силы (интеграл тензора напряжений по контуру) как независимая проверка GMEM;
• согласованные начальные условия по образцу работы 2024 года: там ρ и старшие моменты получают, решая ∂ρ/∂t + ∇·(ρu₀) = D∇²ρ до стационара, что убрало бы и остаточный стартовый импульс от появления тела в потоке;
• подвижные и вращающиеся тела: GMEM уже записан в галилей-инвариантной форме и принимает скорость стенки на линке, но подача этой скорости не подключена;
• несколько тел одновременно (сейчас — одно тело на выбор из семи форм).